次元8の不変トリベクトルを幾何学的に記述する
$\newcommand\Alt{\bigwedge\nolimits}$しましょう $G=\operatorname{SL}(2,\Bbb C)$、そして $R$ の自然な2次元表現を示します $G$ に ${\Bbb C}^2$。整数の場合$p\ge 0$、 書く $R_p=S^p R$; その後$R_1=R$ そして $\dim R_p=p+1$。
OnishchikとVinbergの本の表5を使用して、私はその表現を計算しました $$ R_2\otimes\Alt^2 R_4 $$多重度1の自明表現が含まれています。私はテーブルをブラックボックスとして使用しました。
質問。しましょう$V\subset R_2\otimes\Alt^2 R_4$対応する1次元部分空間を示します。どのように説明できますか$V$幾何学的に部分空間として？
動機：私は検討したい$\operatorname{PGL}(2,k)$-トリベクトルを修正 $$v\in V\subset R_2\otimes\Alt^2 R_4\subset \Alt^3(R_2\oplus R_4)$$ 8次元ベクトル空間の $W=R_2\oplus R_4$ フィールド上 $k$ 標数0のガロアコサイクルを使用して、これをすべてねじります。 $\operatorname{PGL}(2,k)$。この目的のために、私はの幾何学的記述が必要です$V$。
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回答
いくつかの幾何学を説明するもう1つの非常に優れた（しかしまだ代数的な）解釈があります：それを思い出してください $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ があります $2$-に-$1$ に表現 $\operatorname{SL}(3,\mathbb{C})$ リー代数が次のように分割されるように $$ {\frak{sl}}(3,\mathbb{C}) = {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})\oplus {\frak{m}} $$ どこ ${\frak{m}}$ それは （$5$-次元）の直交補空間 ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$ キリング形式を使用して ${\frak{sl}}(3,\mathbb{C})$。ご了承ください${\frak{m}}$ 既約です ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$-モジュール、そしてそのすべての要素 $x\in {\frak{sl}}(3,\mathbb{C})$ 次のように一意に書くことができます $x = x_0 + x_1$ と $x_0\in {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$ そして $x_1\in{\frak{m}}$。また、$[{\frak{m}},{\frak{m}}]= {\frak{sl}}(2,\mathbb{C})$。
これにより、目的のペアリングが定義されます ${\frak{sl}}(2,\mathbb{C})\times \bigwedge\nolimits^2({\frak{m}})\to\mathbb{C}$：送信 $(x_0,y_1,z_1)$ に $\operatorname{tr}(x_0[y_1,z_1])$。もちろん、これは$\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$-ペアリングの不変性は明らかです。
純粋に幾何学的な構造については、以下の代数的考察の後、以下をさらに参照してください。
ロンスキー行列式があり、特定のケースとして、 $R_4$ の2番目の対称乗に等角です $R_3$。したがって、問題の不変量は$I(Q,C)$、二次二次方程式のジョイント不変量 $Q$ とバイナリキュービック $C$、これは線形です $Q$ と二次 $C$。これは確かにスケールアップしてユニークであり、古典的な記号表記（たとえば、Grace and Youngを参照）で与えられます。$$ (ab)(ac)(bc)^2 $$ どこ $Q=a_{x}^{2}$ そして $C=b_{x}^{3}=c_{x}^{3}$。
もう1つの構成は、バイナリ判別式から開始し、それを分極して双線形形式（上の一意の不変形式）を取得することです。 $R_2$）、この双線形形式をに適用します $Q$ とのヘッセ行列 $C$。
ロンスキー同型写像を使用したくない場合、不変量は次のようになります。 $J(Q,F_1,F_2)$、2次のトリリニア $Q$ と2つのバイナリ四次関数 $F_1,F_2$。それは反対称を満足させるでしょう$J(Q,F_2,F_1)=-J(Q,F_1,F_2)$ によって象徴的な形で与えられます $$ (ab)(ac)(bc)^3 $$ 今どこに $Q=a_{x}^{2}$、 $F_1=b_{x}^{4}$、および $F_2=c_{x}^{4}$。
幾何学的構造：
検討する $\mathbb{P}^1$ ヴェロネーゼによって円錐曲線として埋め込まれました $\mathscr{C}$ に $\mathbb{P}^2$。二次二次$Q$ のポイントに対応します $\mathbb{P}^2$。バイナリキュービック$C$ 除数または3点の順序付けられていないコレクションに対応します $\{P_1,P_2,P_3\}$ オン $\mathscr{C}$。しましょう$T_1, T_2, T_3$ で円錐曲線の接線になります $P_1,P_2,P_3$。交点を考慮してください$T_1\cap P_2P_3$、 $T_2\cap P_1P_3$、 $T_3\cap P_1P_2$。それらは整列されているため、線を定義します$L$。不変量の消失$I(Q,C)$ ポイントが発生する状況を検出します $Q$ ライン上にあります $L$。私が言及した共線性の結果に名前があるかどうかは覚えていませんが、それはパスカルの定理の退化したケースです。