次元に中心対称の自己双対ポリトープはありますか $d> 4$?

Dec 23 2020

多面体$P\subset\Bbb R^d$次の場合、中心対称です$-P=P$。その極性双対の場合、それは自己双対(またはより良い、自己極性?)です$P^\circ$ に合同です $P$、つまり、地図があります $X\in\mathrm O(\smash{\Bbb R^d})$$\smash{P^\circ}=XP$

質問:次元に中心対称の自己双対ポリトープはありますか$d>4$

そのような次元に存在します $d=2$ そして $d=4$

  • にとって $d=2$ 通常の2n-gonがあります。
  • にとって $d=4$ 通常の24セルがあります。

回答

5 GuillaumeAubrun Jan 06 2021 at 21:43

すべての次元に中央対称の自己双対ポリトープがあります。これは、Reisner、S。の命題3.9、グラフに関連付けられた特定のバナッハ空間、および1-無条件の基底を持つCL空間、J。Londに続くものです。数学。Soc。、II。Ser。43、No。1、137-148(1991)。ZBL0757.46030。

さらに、次元で $\geqslant 3$ マトリックス $X$ 置換行列になるように選択できます。

これが次元の例です $3^d$ すべてのための $d$。Sztencel-Zarambaポリトープから始める$P$。これは標準の単位球です$\mathbf{R}^3$ $$ \|(x,y,z)\| = \max \left( |y|+|z|, |x|+\frac 12 |z| \right)$$ その双対ノルムが満たす $$ \|(x,y,z)\|_* = \|(z,y,x)\|. $$ 帰納的にシーケンスを定義できるようになりました $\|\cdot\|_d$、これは標準です $\mathbf{R}^{3^d}$ (で識別 $\mathbf{R}^{3^{d-1}}\times\mathbf{R}^{3^{d-1}}\times\mathbf{R}^{3^{d-1}}$)。選択した$\|\cdot\|_1$ 基準を超え、再帰式を使用する $$ \|(x,y,z)\|_{d+1} = \|( \|x\|_d ,\|y\|_d , \|z\|_d )\|_1 .$$ 単位球をその極にマッピングする置換行列があることを帰納法でチェックします。

ポリトープを視覚化するには $P$ セージコードを使用できます

p1 = Polyhedron(vertices=[[0,1,1],[0,1,-1],[0,-1,1],[0,-1,-1],[1,0,1/2],[1,0,-1/2],[-1,0,1/2],[-1,0,-1/2]])
p1.projection().plot()