実関数が単調である区間で連続であるかどうかを確認する[閉じた]

Question

Real Analysis 1試験を検討していたところ、次の定理が見つかりました。

しましょう $f : I \to \mathbb R$ 関数である、ここで $I\subseteq\mathbb R$は間隔です。仮定$f$ で単調です $I$の場合、次のステートメントは同等です。

• $f$ で継続的です $I$
• $f(I)$ 間隔です

私はこの試験をほぼ終了しましたが、実際にはこの同等性を使用したことはありません。私の質問は、関数の極限を直接チェックするよりも、区間の画像を調べる方が簡単または便利な例をいくつか挙げてください。関数は連続ですか？

Answer 1

カントール関数が連続であることを示す1つの方法は、カントール関数が減少しておらず、イメージがあることを示すことです。$[0,1]$。