条件を満たすすべての複素数を決定します- $|z|=2$ $\space$ そして $\space$ イム $(z^6)=8$ イム $(z^3)$

Aug 16 2020

すべての複素数を決定します $z$ 以下の条件を満たす:

$|z|=2$ $\space$ そして $\space$ イム$(z^6)=8$ イム$(z^3)$

私は最初に計算しました $z^3$ そして $z^6$

$z^3=x^3-3xy^2+3x^2yi-y^3i$

$z^6=(x+yi)^6=\binom{6}{0}x^6+\binom{6}{1}x^5yi+\binom{6}{2}x^4(yi)^2+\binom{6}{3}x^3(yi)^3+\binom{6}{4}x^2(yi)^4+\binom{6}{5}x(yi)^5+\binom{6}{6}(yi)^6$

$=x^6+6x^5yi+15x^4(-y^2)+20x^3(-y^3i)+15x^2y^4+6xy^5i-y^6$

次に、方程式Imに虚数部を入れます$(z^6)=8$ イム$(z^3)$ そしてフォローしました

$6x^5y-20x^3y^3+6xy^5=8(3x^2y-y^3)$

$2xy(x^2-3y^2)\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}=8y\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}$ (*)

$x(x^2-3y^2)=4$ $\space$ (1)

から $|z|=2$ 続く $\sqrt{x^2+y^2}=2$ $\space$ $\rightarrow$ $y^2=4-x^2$ (2)

(2)を(1)に入れた後

$x^3-3x=1$

その後 $x=2\cos\varphi$

方程式 $8\cos^3\varphi-6\cos\varphi=1$ に変換することができます

$2\cos3\varphi=1$(私はのアイデンティティの助けを借りてこれを手に入れました$\cos {3x}$)

その後

$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$

$\varphi_2=-\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$$\space$ $k \in \mathbb{Z}$

別の方法で書かれた解決策は

$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_2=\frac{5\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_3=\frac{7\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_4=\frac{11\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_5=\frac{13\pi}{9}+2k\pi$

$\varphi_6=\frac{17\pi}{9}+2k\pi$

(*)式に沿って $3x^2-y^2$打ち消されます。それを含める必要があります

$3x^2-y^2=0$

$3x^2-(4-x^2)=0$

$4x^2=4$

$x^2=1$

$(2\cos\varphi)^2=1$

$\cos^2\varphi=\frac{1}{4}$

この方程式を解くと、次のようになります。

$\varphi_7=\frac{\pi}{3}+2k\pi$

$\varphi_8=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$

$\varphi_9=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$

$\varphi_{10}=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$

私の教科書からの解決策:

$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_1=2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})}$

$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_2=2(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3})}$

$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_3=2(\cos\frac{7\pi}{3}+i\sin\frac{7\pi}{3})}$

誰かが私が間違いを見つけるのを手伝ってくれる?

間違いを見つけた場合は、自由に編集してください。下の写真はすべて10の解決策です。

回答

6 Bernard Aug 16 2020 at 01:26

の指数形式で解く方が短い $z$:その弾性率は $2$、 我々は書ける $\:z=2\,\mathrm e^{i\theta}$。虚数部の方程式は次のようになります。$\DeclareMathOperator{\im}{Im}$ $$\im(z^6)=\im\bigl(64\mathrm e^{6i\theta} \bigr)=64\sin 6\theta,\qquad \im(8z^3)=\im\bigl(64\mathrm e^{3i\theta}\bigr)=64\sin 3\theta$$ この単純な標準三角方程式はどこから $\;\sin 6\theta=\sin 3\theta$。そのソリューションは$$ \begin{cases} 6\theta\equiv 3\theta \iff 3\theta\equiv 0\mod 2\pi\iff\theta\equiv 0\mod\frac{2\pi}3,\\ 6\theta\equiv \pi-3\theta \iff 9\theta\equiv \pi \mod 2\pi \iff \theta\equiv \frac\pi 9 \mod\frac{2\pi}9 . \end{cases} $$ のソリューションの短い形式 $\theta$ だろう $$\theta\in\Bigl\{\frac{k\pi}9\,\Bigm|\, k=0, \pm 1,\pm3,\pm 5,\pm 7, 9 \Bigr\}. $$

4 AnindyaPrithvi Aug 16 2020 at 00:45

一般性を失うことなく、方程式を次のように減らすことができます。 $$|z|=1 ,\text{Im}(z^6)=\text{Im}(z^3)$$

このことから、 $z=\omega_i$ (どこ $\omega_i$ は1の立方根です)、方程式は間違いなく真になります。

その後、次の多項式展開を使用します $z^6 $ そして $z^3$ 検討中 $z=x+i y$ 効果的に解決しています $$6xy^{5}\ -20x^{3}y^{3}+6x^{5}y=\left(3yx^{2}-y^{3}\right)$$ その条件で $$x^2+y^2=1$$ これは単位円です。

ここから次のグラフにアクセスできます

黒いグラフと赤い円、および座標がラベル付けされた青い点の交点が、必要なソリューションです。