準同型度の全射
Dec 22 2020
次の質問と議論について：
次数準同型ですか $\text{deg}: \text{Pic}(X)\to \mathbb{Z}$ 全射？
私たちは同意します $X$は代数的閉体上の曲線であり、答えはイエスであり、そうでない場合は常にそうではありません。その場合の答えは何ですか$X$分離可能に閉じた体上の曲線はありますか？
これは、次数準同型が全射であるための十分条件ですか？
回答
KReiser Dec 22 2020 at 17:21
「曲線」を「幾何学的に縮小」を意味すると仮定すると、答えは「はい」です。すべての幾何学的に縮小$k$-有限型のスキームには $k^s$劉の代数幾何学と算術曲線の命題3.2.20によるポイント（証明のアイデアは、幾何学的に縮小された手段が$k(X)/k$は分離可能であり、そのような振る舞いの軌跡は、体上の有限型のスキームに対して開かれています）。これは、曲線の定義の一部として幾何学的に縮小されていると仮定して、あなたの主張を証明します。$k^s$ ポイント。
上記のステートメントの詳細については、Stacks04QMを参照することもできます。