純粋な状態のGNSヒルベルト空間への射影

Question

与えられた $C*$ 代数Aと純粋な状態 $f$ GNS構成法 $(\Pi, H, \Omega_f)$ そのような $\Pi(A)''=B(H)$。

1. の任意の1d部分空間に有限射影を行います $H$ 寝転ぶ $\Pi(A)$？

2. の要素は何ですか $A$ の投影にマッピングされます $B(H$）GNS表現による $\Pi$。

Answer 1

取る $A$ 適切に無限のCになる$^*$-代数、または投影のないもの。それを還元不可能に表現します。既約表現は純粋な状態から来るので、次のような例があります。$\pi(A)$ 有限の予測がないか、まったく予測がありません。

上記も答えます2：あなたが取る場合 $A$ 投影なしであると言う $A=C_r^*(\mathbb F_2)$、その後 $\pi(A)$ 投影は含まれていません。