かどうかを判断する $f(x)=x^2$ 与えられた領域で一様に連続です。

Question

次の関数が特定の定義域で一様に連続しているかどうかを判別します。

$f(x)=x^2 , \quad \text{in}\quad [0,\infty], [0,1]$

私の試み：

ドメインの場合 $[0,\infty]$。しましょう$(x_n)=n, (y_n)= n +\frac{1}{2n}$

次に $|n-n-\frac{1}{2n}|=\frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

だが、 $|(n)^2-(n+\frac{1}{2})^2| = 1 + \frac{1}{(2n)^2} \geq 1 = \epsilon _0$

次に $f(x)=x²$ ドメイン内で一様に連続していない $[0,\infty]$

ドメインの場合 $[0,1]$。しましょう$(x_n)=\frac{1+n}{n}, (y_n)= \frac{1+2n}{2n}$

次に $|\frac{1+n}{n}-\frac{1+2n}{2n}| = \frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

だが、 $|(\frac{1+n}{n})^2-(\frac{1+2n}{2n})^2|=\frac{1}{n} + \frac{3}{4n^2} \geq 1 = \epsilon _0$

次に $f(x)=x²$ ドメイン内で一様に連続していない $[0,1]$

私の方法が正しいかどうかわかりません。どんな提案も素晴らしいでしょう！

Answer 1

関数が一様に連続であることを確認する別の方法 $[0,1]$ ハイネの定理を使用することなく、一様連続性の定義が満たされていることを証明することです。

確かに、 $\varepsilon > 0$。しましょう$\eta = \varepsilon/2$。すべてのために$x,y \in [0,1]$ そのような $|x-y|<\eta$、 あなたが持っている $$|x^2-y^2| = |(x-y)(x+y)| \leq 2\eta = \varepsilon$$

したがって、定義は満たされます。

Answer 2

ドメインのメソッド $[0,\infty)$は正しく、結果も正しいです。しかし、ドメインの場合$[0,1]$、あなたが選んだので、それは機能しません $x_n,y_n$ドメインにありません。代わりに、コンパクトドメインの連続関数が一様に連続であるという事実を使用できます。

Answer 3

それは確かに均一に連続しています $[0,1]$。一般に、連続関数はコンパクトセットで常に一様に連続します（@Bungoがコメントで指摘したように）。

コメントの質問に対処するには：

たとえば、 $\varepsilon$、私たちが取るだけなら $\delta=\frac{100}{4 \times 99} \varepsilon$、 我々は持っています $$f\left(x+ \frac{99}{100} \delta\right) - f(x) \\ = f(x + \varepsilon/4) - f(x) \\ = x^2 + x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 - x^2 \\ = x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon/16 \\ < \varepsilon$$

PS @TheSilverDoeの答えはずっときれいなので、私はそれをチェックします:)