かどうかを判断する $ \intop_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x$ 収束する

Question

私は判断する必要があります $\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d}x$ 収束/発散。

私の直感は、積分が収束するということです。 $\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\left(x\right)\mathrm{d}x$ ディリクレのテストから収束するため、 $ \frac{1}{x} $ の違いはあまりないはずです $ x\to\infty $。

私はそれを証明する正しい方法はそれを示すことだと思います $\displaystyle \int_{1}^{u}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x $ に制限されています $ u $、そして私はディリクレのテストを使うことができました。私はそれを証明しようとしましたが、証明できませんでした。

また、積分という私の証明についてあなたがどう思うか聞いてみたいです $ \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x $ 収束します。

私は次のように限界比較テストを使用しました：

$ \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\frac{|\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)|}{x^{0.5}}}{\frac{1}{x^{0.8}}}=0 $

それ以来 $ 0.8 <1 $ 積分 $ \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{0.8}}\mathrm{d}x $ 収束し、したがって積分 $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{0.5}} \mathrm{d}x$ 絶対に収束します。

ここで助けていただければ幸いです。前もって感謝します

Answer 1

角度加算式から始めます。

$$\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin\left(x+{1\over x}\right)\,dx=\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin x\cos(1/x)\,dx+\int_1^\infty{1\over\sqrt x}\cos x\sin(1/x)\,dx$$

そして、2番目の広義積分は収束していることに注意してください $\sin(1/x)\lt1/x$ （にとって $x\gt0$）および $\int_1^\infty{1\over x^{3/2}}\,dx$収束します。したがって、最初の広義積分も収束していることを示す必要があります。

これを行うには、パーツごとの統合を使用します $u=\cos(1/x)/\sqrt x$ そして $dv=\sin x\,dx$、 そのため $du=(\sin(1/x)/x^{5/2}-\cos(1/x)/(2x^{3/2}))dx$ そして $v=-\cos x$：

$$\begin{align} \int_1^\infty{1\over\sqrt x}\sin x\cos(1/x)\,dx &={-\cos(1/x)\cos x\over\sqrt x}\Big|_1^\infty+\int_1^\infty{\sin(1/x)\cos x\over x^{5/2}}\,dx+\int_1^\infty{\cos(1/x)\cos x\over2x^{3/2}}\,dx\\ &=\cos^21+\int_1^\infty{\sin(1/x)\cos x\over x^{5/2}}\,dx+\int_1^\infty{\cos(1/x)\cos x\over2x^{3/2}}\,dx \end{align}$$

ここで、最後の2つの広義積分は再び収束します。

からの広義積分は $0$ に $1$、OPの証明は問題ありませんが、必要以上に複雑です。それに注意するだけで十分です${|\sin(x+1/x)|\over\sqrt x}\le{1\over\sqrt x}$。

Answer 2

あなたはたださせてもよい $x+\frac{1}{x}=z$ 取得します $$ \int_{1}^{+\infty}\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int_{2}^{+\infty}\sin(z)\underbrace{\frac{\sqrt{z+\sqrt{z^2-4}}}{\sqrt{2}\sqrt{z^2-4}}}_{g(z)}\,dz $$ どこ $g(z)$ 次のように動作します $\frac{C}{\sqrt{z-2}}$ の右の近所で $z=2$ そしてそれは減少しています $z>2$、以来 $$ g(2\cosh t) = \frac{e^{t/2}}{e^t-e^{-t}}=\sum_{n\geq 0}\exp\left(-\left(2n+\frac{1}{2}\right)t\right)$$ 明らかに減少しています $\mathbb{R}^+$。したがって、ここでもディリクレの補題を適用できます。