確率と期待IMO本の質問
私はこの問題を解決しようとしていましたが、それを見たときに解決策を理解していませんでした。
問題：あります$8$ 女の子と $7$円卓の周りに座っている社交パーティーの男の子。すべての女の子が一緒に座っている場合、男の子に隣接する女の子は2人だけです。女の子と男の子ができるだけ交互に座っている場合は、$14$隣接する女の子と男の子の座席のペア。女の子と男の子が隣接している座席のペアは平均していくつありますか
コメント：私の問題は、私が解決策を見たとき、なぜ彼らが確率をとったのか理解できなかったということです $1$ ペアと乗算 $15$（総座席数）。残りの男の子/女の子の数が異なるため、ある席でペアを組むというイベントが別の席でペアを組むこととは無関係であると私は確信していません。
誰かが私の推論の何が悪いのか、そしてなぜ席の確率があるのかを理解するのを手伝ってくれませんか？ $i,j$ 座席から独立したペアを持つ $j,j+1$ ペアを持っていますか？
回答
しましょう $A$ 巡回アーベル群である $\Bbb Z/15$ と $15$要素。スペースを考慮してください$\Omega$ 全部の $\omega:A\to\{0,1\}\subset \Bbb R$、 そのため $\sum \omega=8$。ここで私たちは識別します$\omega$ タプル付き $(\omega_0,\omega_1,\dots,\omega_{14})$ そして $\sum\omega$ の成分の合計です $\omega$。確率変数を定義します$X_a$ ために $a\in A$ によって定義されます $X_a(\omega)=\omega_a$。
（私たちは女の子をに対応させると考えています $1$ のエントリ $\omega$、男の子から $0$ エントリを入力し、インデックスの循環順序を使用して、円卓の周りで循環的に同じ順序で配置されるようにします。）
隣接するペアの数を与える関数 $01$ および/または $10$ 確率変数です $Z$..。 $$ \begin{aligned} Z(\omega)&=\sum_{a\in A}|\omega_a-\omega_{a+1}|\ ,\text{ so}\\ Z&=\sum_a|X_a-X_{a+1}|\ . \\ &\qquad\text{ Then:} \\ \Bbb E Z &=\Bbb E\sum_a|X_a-X_{a+1}|\\ &=\sum_a\Bbb E|X_a-X_{a+1}|\\ &=|A|\cdot\Bbb E|X_0-X_1|\ , \end{aligned} $$ 周期対称性を使用した最後の行 $\Omega$ の作用により誘発 $A$。
この議論は情報を「分解」し、ラベルが付けられた座席のみを見ることができます $0$ そして $1$。