患者が病気にかかっている確率 $X$
疾患 $X$ にのみ存在します $0.1$テストされた患者の割合。テストは陽性です$99$患者が病気にかかっている時間の% $X$。あなたが病気について検査され、検査で陽性の場合、あなたが病気にかかっている確率$X$ です $10$%。病気がないときに人が陽性となる確率はどれくらいですか$X$?
私が試したこと:
しましょう $A$ 患者が病気にかかっている確率である $X$、および $B$ 彼らが陽性となる確率である。
次に $P(A)=0.001$、これは $P(\bar{A})=0.099$ そして $\displaystyle P(B/A)=0.99$。今、私たちは見つけなければなりません$\displaystyle P(B/\bar{A})$。
ここにもあります: $$P(B)=P(A)P(B/A)+P(\bar{A})P(B/\bar{A}).$$
ベイズの定理を適用できるようです。しかし、私はここで式を適用する方法を理解していません。
回答
ベイズの定理を使用すると、テストが陽性になる確率は次のとおりです。
\ begin {align *} P(\ text {disease} | \ text {+ test})=&\ \ frac {P(\ text {+ test} | \ text {disease})P(\ text {disease}) } {P(\ text {+ test})} \\ P(\ text {+ test})=&\ P(\ text {+ test} | \ text {disease})P(\ text {disease})+ P(\ text {+ test} | \ text {$\neg$病気})P(\ text {$\neg$病気})\\ =&\ .99 * 0.001 + 0.999x \ end {align *}
私たちは見つけることができます $x = P(\text{+test}|\text{$\ neg$disease})$ 次の方程式を解くことによって(私はパーセンテージと小数を混ぜています):
\begin{align*} 0.1 = \frac{.99 * 0.1\%}{.99*0.1\% + 99.9\%x}\\ .0099 + 9.99x = .099 \\ x = \frac{0.0891}{9.99} \approx 0.00891891892 \end{align*}
彼らが病気を持っていない場合に陽性のテストの確率を意味するのはおよそです $0.89\%$。