仮定します $P(x)$ は次の多項式です $P(2)=2017$ そして $P(5)=2002$。それが与えられれば $P(x)=0$整数ルートが1つだけある場合は、そのルートを見つけます。[複製]
質問:仮に $P(x)$ は次の多項式です $P(2)=2017$ そして $P(5)=2002$。それが与えられれば$P(x)=0$ 整数ルートが1つだけある場合は、そのルートを見つけます。
私のアプローチ:私はそれを考慮して問題を解決しようとしました $P(x)\in\mathbb{Z}[x]$ そしてそれ $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0.$$ 次に $P(5)\equiv a_0 \pmod 5\implies 2002\equiv a_0 \pmod 5\implies a_0\equiv 2\pmod 5.$ 再び、 $P(2)\equiv a_0 \pmod 2 \implies 2017\equiv a_0 \pmod 2\implies a_0\equiv 1 \pmod 2.$ したがって、 $$\begin{cases}a_0\equiv 1\pmod 2,\\a_0\equiv 2\pmod 5.\end{cases}$$ 同じことを解くことにより、私たちはそれを結論付けることができます $a_0\equiv 7 \pmod {10}.$
また、 $a$ の唯一の整数根です $P(x)$、そして存在する $Q(x)\in \mathbb{Z}[x]$ と $\deg (Q(x))=n-1$ そのような $$P(x)=(x-a)Q(x).$$ したがって、 $$(2-a)Q(2)=2017,\text{ and }(5-a)Q(5)=2002=2\times 7\times 11\times 13.$$
この後、私は重要なアプローチをすることができませんでした。私はまた、私が仮定をするべきではなかったことを理解しています$P(x)\in\mathbb{Z}[x]$、しかしそれは私が考えることができる最高です。
誰かが私が進歩するのを手伝ってくれますか(最初は小さなヒントがいいでしょう)?
回答
2番目のアプローチはより実り多いものです。 $2017$ 最高の場所です $2- a=1, -1, -2017, 2017$。2017年の場合$a=-2015$ そして $a-5= -2020$、除算しない $2002$、矛盾。もしそれが$-2017$ インクルード $a=2019, 5-a= - 2014$、矛盾。場合$2-a=-1$、 $a=3, 5-a=2$大丈夫です。最後に$2-a=1, a=1, 5-a=4,$矛盾。回答$a=3$。