数の異常な接続

Question

方程式を立てましょう $(DX)^2-Y^2= ± Z^5$ そして $x,y$ゼロより大きい2つの正の整数。いくつかの事実から、次の整数値を与えることにより、上記の方程式の解を得ることができます。$x,y$。例：

• もし $x=11$ そして $y=2$ その後、私たちは解決策を持っています $11*(641)^2-(2122)^2=7^5$;

• もし $x=5$ そして $y=2$ その後、私たちは解決策を持っています $5*(305)^2-(682)^2=1^5$;

• もし $x=7$ そして $y=4$ その後、私たちは解決策を持っています $7*(2449)^2-(6484)^2=(-9)^5$。

パズルは次のとおりです。

1. そのような解決策をもっと提示できますか？

2. そのような方程式を解く秘訣は何ですか？

Answer 1

計算プロセス

与えられた $x$ そして $y$、計算する

$x-y^2=Z$、

そのため

$(y-\sqrt{x})(y+\sqrt{x})=-Z$。

権力を握る、これは意味します

$(y-\sqrt{x})^5(y+\sqrt{x})^5=-Z^5$。

今、私たちはそれを知っています

$(y+\sqrt{x})^5$ は形式の数値です $Y+X\sqrt{x}$ 一部の整数の場合 $X,Y$、そして活用によって $(y-\sqrt{x})^5=Y-X\sqrt{x}$。

だから私たちは解決策を見つけました

$(Y-X\sqrt{x})(Y+X\sqrt{x})=-Z^5$、

または言い換えれば $DX^2-Y^2=Z^5$ と

$D=x$、 $X=5y^4+10xy^2+x^2$、 $Y=y^5+10xy^3+5x^2y$、

またはOPの表記法で $(DX)^2-Y^2=Z^5$ と

$D=\sqrt{x}$、 $X=5y^4+10xy^2+x^2$、 $Y=y^5+10xy^3+5x^2y$。

例

比較的単純な例から始めましょう $x=2,y=1$ 次のように計算します。

• $Z=1$、 $(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=-1$、

• $(1+\sqrt{2})^5=1+5(\sqrt{2})+10(2)+10(2\sqrt{2})+5(4)+(4\sqrt{2})=41+29\sqrt{2}$、

• $(41-29\sqrt{2})(41+29\sqrt{2})=(-1)^5$、

とソリューション $2*(29)^2-(41)^2=1^5$、電卓で確認できます。

偶数の値を持つ別の例として $Z$、使ってみよう $x=3,y=1$ そして取得：

• $Z=2$、 $(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=-2$、

• $(1+\sqrt{3})^5=1+5(\sqrt{3})+10(3)+10(3\sqrt{3})+5(9)+(9\sqrt{3})=76+44\sqrt{3}$、

• $(76-44\sqrt{3})(76+44\sqrt{3})=(-2)^5$、

とソリューション $3*(44)^2-(76)^2=2^5$、電卓で確認できます。

私の思考プロセス

このパズル全体は何か関係があるようです

ペル方程式とそれに関連する代数的数体の理論、

実際、OPに示されている2番目の例は、実際にはこの方程式の解です。このパズルの新機能は、私が学部の数論のコースで学んだことと比較して、五乗数の関与です。五乗数をどのように関連付けることができますか

ペル方程式の解を可能にする平方根算術？まあ、私たちが持っている場合$a-b\sqrt{d}$ 整数を生み出す $n$ その共役を掛けると、 $(a-b\sqrt{d})^5$ 同様に整数を生成します $n^5$。

次に、指定された値のパターンを見つけました。

$11-2^2=7$、 $5-2^2=1$、 $7-4^2=-9$、

これは私にこのパズルに近づく方向を確認しました。