ケイリーグラフの自己同型群
しましょう $G$グループになります。しましょう$\Gamma = \Gamma(G,X)$ のケイリーグラフである $G$ 生成集合に関して定義された $X$。それを見せたい$G\cong \text{Aut}(\Gamma)$。によって注意してください$\text{Aut}(\Gamma)$私はない根本的な無向グラフの自己同型群を参照し、むしろ各エッジが向けられ、適切なジェネレータで標識されている詳細なグラフ。
たとえば、次の指示されラベル付けされたグラフでは、自明ではない自己同型が1つだけあります。 $1$ に $4$。確かに、残りの自己同型は、自己同型の下で単一の頂点の画像を記述することによって一意に決定されます。
この投稿をフォローしようとしましたが、少し混乱しました。私の質問は次のとおりです。
- の要素はどうですか $\text{Aut}(\Gamma)$定義されていますか？通常のグラフ同型の定義とは違うので、どうやってこの定義をするのかわかりませんでした。
- なぜそれが見やすいのですか $T_h\in\text{Aut}(\Gamma)$？（この質問への答えはどのように依存すると思います$\text{Aut}(\Gamma)$ 定義されています。）
回答
ケイリーグラフの頂点 $\Gamma$ の要素です $G$、エッジがあります $(g,gs)$ すべてのための $s\in X$ （どこ $X$ 生成セットです）および $g\in G$。エッジ$(g,gs)$ ジェネレータによってラベル付けされます $s$。の自己同型$\Gamma$は頂点セットの順列であり、エッジセットの順列を誘導し、エッジのラベルも保持します。（エッジを同じラベルのエッジに送信します。）
そのような関数を呼び出す $\phi:G\to G$。それがエッジを保持するという事実は、$(\phi(g),\phi(gs))$ すべての人にとってのエッジでなければなりません $g\in G,s\in S$、および同じラベルが必要です $s$、これは2番目の座標を意味します $\phi(gs)$ 最初のものでなければなりません、 $\phi(g)$、回 $s$。あれは、$\phi(gs)=\phi(g)s$ すべての要素について $g\in G,s\in S$。エッジについても同じことができます$(gs^{-1},g)$ によってラベル付け $s$ 表示するために $\phi(gs^{-1})=\phi(g)s^{-1}$ あまりにも。
すべて以来 $g\in G$ の要素の製品です $S$ およびその逆、誘導による $\phi(g)=\phi(e)g$。つまり、ラベル付けされた自己同型$\phi$ の $\Gamma$ 単に左乗算です $T_h(g):=hg$ グループ要素による $h=\phi(e)$、および逆に（これは単に結合法則から得られます）。