計算ベースで複数のキュービットを測定するときに観察できるものは何ですか？

Question

NielsenとChuangの量子コンピューティングと量子情報では、射影測定に次の定義が与えられています。

射影測定は、観測量によって記述されます $M$ ：

$$M = \sum_m m P_m$$

と $P_m$ の固有空間へのプロジェクター $M$ 固有値付き $m$。

私の質問は、計算ベースでnキュービットのシステムを測定すると言うとき、どの観測量を正確に参照するのかということです。

1キュービットの場合、これは観測可能なZを参照していることを私は知っています：

$$Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = |0 \rangle \langle 0| - |1\rangle \langle 1|.$$

nキュービットの場合、私の直感は次のようになります。

\begin{align*} P_1 & = \underbrace{Z \otimes I \otimes ... \otimes I}_{n \textrm{ terms}}. \\ P_2 & = I \otimes Z \otimes ... \otimes I. \\ & ... \\ P_n & = I \otimes I \otimes ... \otimes Z. \end{align*}

私と単位行列。

その場合、オブザーバブルは定義のようになります。あれは正しいですか ？

Answer 1

射影行列の現在の定義に注意してください $\{P_{1},P_{2},...,P_{n}\}$ なぜなら、実際には射影行列ではないからです。 $P_{i}^{2} = I \not= P_{i} \,\, \forall i$。

「より良く」機能するのは、次のようなものがある場合です。

\ begin {equation} \ begin {split} P_ {1} ^ {+ 1} =＆| 0 \ rangle \ langle 0 | \ otimes I \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {1} ^ {-1} =＆| 1 \ rangle \ langle 1 | \ otimes I \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {2} ^ {+ 1} =＆I \ otimes | 0 \ rangle \ langle 0 | \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {2} ^ {-1} =＆I \ otimes | 1 \ rangle \ langle 1 | \ otimes I .... \ otimes I \\＆\ vdots \\ P_ {n} ^ {+ 1} =＆I \ otimes I .... \ otimes I \ otimes | 0 \ rangle \ langle 0 | \ \ P_ {n} ^ {-1} =＆I \ otimes I .... \ otimes I \ otimes | 1 \ rangle \ langle 1 | \\ \ end {split} \ end {equation}

ただし、PVMにはそれが必要です $\sum_{i = 0}^{2n-1} P_{i} = I$、ここでは明らかにそうではありません！再正規化することでこれを解決することもできますが、ここには別の問題があります。これらのプロジェクターは、実際には、測定値が持つ可能性のある相関関係を考慮していません。

したがって、より良い「選択」は測定演算子です $Z_{n} = Z \otimes Z \otimes Z ... \otimes Z$。この演算子は$2^{n}$ 固有ベクトル：

$$Z_{n} = \sum_{i \in \{0,1\}^{n}} m_{i} |i\rangle\langle i|,$$ どこ $m_{i} = \pm 1$ ビットストリングのパリティに基づく $i$。測定結果として、ビットストリングを取得します$i$、状態の予測に関連付けられています $|i\rangle$。

Answer 2

異なる対角要素を持つ対角演算子が必要なだけです（これは、すべての基底要素が測定の異なる出力にマップされることを意味します）。

これをパウリ行列で表す便利な方法の1つは、 $$ \sum_{i=1}^N2^{N-i-1}(1-Z_i) $$ 基底状態の場合 $|x\rangle$ どこ $x$ は2進数で、固有値はの10進表現です。 $x$（したがって、明確です）。もちろん、すべての固有値にシフトを与えるだけなので、すべてのアイデンティティ用語を削除できます。

Answer 3

射影測定を検討している場合は、オブザーバブルを処理する必要がまったくないことに注意してください。射影測定は、基礎によって特徴付けられます$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1\rangle}\{\ket{u_i}\}_i$ 測定している対象、したがって関連する投影確率 $p_i\equiv \lvert\langle u_i\rvert \psi\rangle\rvert^2$ （いつ $\ket\psi$測定されている状態です）。他に何も必要ありません。

絵の中に、観察をもたらすことはでき事情とまさにあなたに興味を持っているに応じて、便利です。しかし、観測を計算するために使用されていることを覚えて期待値。言い換えると、可能な測定結果に数値を付加し、確率分布に関してこれらの数値の期待値を計算することによって、オブザーバブルを定義します。$p_i$。