建設的に埋め込む $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ に $\mathbb{R}$
選択公理を使用すると、次のことが証明できます。 $\mathbb{R}$ 同型です $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ 上のベクトル空間として $\mathbb{Q}$。（ACを想定すると、両方のスペースはハメル基底を持っています$\mathbb{Q}$ 同じカーディナリティであり、したがって同型です。）
だから私の質問は、そのような同型写像が $\mathbb{R}$ そして $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ ACなしで構築できるか、少なくとも、埋め込むことができるかどうか $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ に $\mathbb{R}$ACなし。（埋め込みとは、単射を構築することを意味します$\mathbb{Q}$-1つのスペースから別のスペースへの線形マップ。）
後者は、次の部分空間を構築できるかどうかを尋ねるのと同じです。 $\mathbb{R}$ シャウダー基底があります $\mathbb{Q}$、そのような部分空間は自動的に同型でなければならないので $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$。
助けてくれてありがとう！
回答
実際、自明でない準同型がないことはZFと一致しています $\mathbb{R} \to \mathbb{Q}$。これが出てきた以前の回答からの引用：
Shelahによって構築されたZFのモデルがあり、実数のすべてのセットにBaireプロパティがあります。これは、私が正しく理解していれば、からの非ゼロ準同型がないことを意味します$\mathbb{R}$可算アーベル群へ（離散トポロジーを持つ可算アーベル群はポーランド語群であるため、このモデルでは次の準同型$\mathbb{R}$そのようなグループに対しては、自動的に測定可能であるため、自動的に継続します）。そう$\mathbb{R}$、および $SO(2)$、このモデルには可算インデックスのサブグループはありません。
これは、明示的な埋め込みの可能性を排除するものではありません $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$; そのようなものが存在するかどうかはどちらの方法でもわかりませんが、頭のてっぺんからはそうではないと思います。すべての線形マップがZFと一致しているに違いありません$\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$ その因子のいくつかの有限サブセットへの射影による因子。