機能的には、対称行列はそれが表す線形変換について何と言っていますか？

Question

対称行列の構成要素がどのように関連しているかという観点から、対称行列の定義を理解しています。しかし、機能的には、それが表す線形変換について何が必要ですか？たとえば、ブロック三重対角行列はエントリ間に特別な関係がありますが、機能的には、特定の基底に関して線形変換の下でいくつかの自明でないベクトル部分空間が不変であることも示しています。ちなみに、交代行列は機能的に何を表していますか？

Answer 1

質問に対するコメント（およびリンクされたディスカッション）で、私は次のように主張します。

$M$ 次の場合に限り、（おそらく斜めの）基底の少なくとも1つの選択に対して対称です。 $M$ 実固有値で対角化可能です。 $M$ は、次の場合に限り、少なくとも1つの基底の選択に対してスキュー対称です。 $M$ スケーリングされたの直和です $90^\circ $ 回転とゼロ変換。

まず、対称の場合。場合$M$ が対称である場合、スペクトル定理は次のように述べます。 $M$実固有値で対角化可能です。逆に、$M$ は実数の固有値で対角化可能であり、その行列に関連する基底があります。 $M$実際の対角要素を持つ対角です。この対角行列は対称であるため、$M$ この基底の選択に対して対称です。

の場合 $M$はスキュー対称であり、2つの一般的なアプローチがあります。簡単な方向性のために：もし$M$ の直和です $90^\circ$ 回転とゼロ変換の場合、その行列に関連する基底があります $M$ はブロック対角スキュー対称行列です $$ \pmatrix{0 & \kappa_1 \\-\kappa_1 & 0 \\ && \ddots \\ &&& 0 & \kappa_p\\ &&&-\kappa_p & 0 \\ &&&&&0 \\ &&&&&&\ddots\\ &&&&&&& 0}. $$逆に2つのアプローチがあります。1つは、本質的にエルミート行列にスペクトル定理を適用することです。$M$ はスキュー対称であり、複素行列 $iM$エルミートです。あるいは、次の行列に関連する基底を体系的に構築することもできます。$M$この投稿で概説されている上記のブロック対角形式とそれにリンクされた証明があります。