基礎 $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ 選択公理を意味しますか？
しましょう $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ 上のベクトル空間を示します $\mathbb{R}$実数のシーケンスの、コンポーネントによって定義された乗算と加算。部分空間ですが、それはよく知られています$\mathbb{R}^\infty$ 有限数の非ゼロ項のみを持つシーケンスの基底があります $\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0, 0, \ldots), \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0, 0, \ldots)$、これはの基礎ではありません $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ （定数シーケンスを表現する $(1, 1, 1, \ldots)$ 無限の合計が必要になります $\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 + \cdots$、およびジェネリックベクトル空間の無限和は定義されていません）。また、すべてのベクトル空間に基底があるというステートメントは、選択公理と同等であることが証明されています。
でも、特定の空間に興味があります $\mathbb{R}^\mathbb{N}$。このセットの基礎には選択公理が必要であり、明示的に説明できないことが証明されていますか？これは宿題の質問でも何でもありません。私はただ興味があります。
回答
特定の特性を認める単一の具体的なセットは、選択公理を意味するものではありません。限目。選択公理はグローバルステートメントであり、特定のプロパティを持つセットに関するステートメントはローカルです（グローバルステートメントについては話していません。たとえば、「すべてのセットについて$A$、 $A\times X$ 秩序だったことができる」とは、任意の固定セットに対して選択公理を意味します $X$、 それはずるい）。
選択公理は、失敗したいほどひどく失敗する可能性がありますが、実数と、これまで気にかけていたすべてのセットは、「重要な」すべてのベクトル空間が基礎。言い換えれば、選択公理はグローバルステートメントであるため、その否定は1セットについてではありません。それは反例の存在についてです。
（実際にはフィールドがあるかどうかさえわかりません $F$ そのような「上のすべてのベクトル空間 $F$ 「根拠がある」とは、選択公理を意味します。ローカルステートメントを装ったグローバルステートメントについて言えます。）
一方、実数のすべてのセットがベールの性質を持っていることは一貫しています。これは、すべての線形を意味します。 $T\colon\Bbb{R^N\to R^N}$継続的です。悲しいかな、分離可能な空間なので、$2^{\aleph_0}$連続関数; しかし、私たちは簡単にその根拠を示すことができます$\Bbb{R^N}$ サイズが必要です $2^{\aleph_0}$ 同様に、したがって、 $2^{2^{\aleph_0}}$そのような基底の順列によってちょうど誘発された線形関数。したがって、実際、すべての実数のセットにベールの性質がある場合、$\Bbb{R^N}$ 存在することができます。