コーシー問題の存在と一意性を証明する
次のコーシー問題の存在と一意性を証明するのに助けが必要です。
\ begin {cases} y '' + e ^ {x} y = 0 \\ y(0)= 1 \\ y '(0)= 0 \ end {cases}
これは、一次システムとして再キャストできます。 $f$ と定義されている $$f(x,y)=[-e^x y , y]^T$$
(ローカル)存在と一意性を証明するために、私はそれを示す必要があります $f$ ローカルでリプシッツwrt $y$、(これはODEのRHSです)
私は計算します:
$$\left|| f(x,y_1)-f(x,y_2) \right|| = \left|| [e^x (y_2 - y_1),y_1 - y_2]^T \right|| = (y_2 - y_1)^2 \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) = \left|| y_1 - y_2\right|| \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) $$
だから、 $|x| < a$ (すなわち、の近隣 $x_0=0$ 私は持っています $$\Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr)\leq1+e^{2a}$$、したがって、ローカルではリプシッツです(ただし、グローバルではありません)
すべてが正しいですか?
回答
あなたは機能を手に入れました $f(x,y)$違う。あなたがする必要があるのは、の1次導関数として機能する3番目の変数を定義することです$y$。あなたが望む機能は$$f([y,y']^T,x) = [y',-e^xy]^T$$。これはあなたが見せたい機能がリプシッツです。
$$\frac{d^2y}{dx^2}+e^x y=0$$ 変数変換:$\quad e^x=t\quad\implies\quad \frac{dt}{dx}=t$
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=t\frac{dy}{dt}$
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\frac{dy}{dx}}{dt}\frac{dt}{dx}=(\frac{dy}{dt}+t\frac{d^2y}{dt^2})t=t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}$ $$t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}+ty=0$$ $$\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{1}{t}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{t}y=0$$これは、解がよく知られているベッセル方程式です。の式(6)および(7)を参照してください。https://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html $$y(t)=c_1J_0\big(2\sqrt{t}\big)+c_2Y_0\big(2\sqrt{t}\big)$$ $J_0$ そして $Y_0$それぞれ第1種と第2種のベッセル関数です。ODEの一般的な解決策は次のとおりです。$$y(x)=c_1J_0\big(2e^{x/2}\big)+c_2Y_0\big(2e^{x/2}\big)$$ 係数 $c_1$ そして $c_2$ 条件に応じて決定されます $y(0)=1$ そして $y'(0)=0$ これはユニークな解決策につながります: $$y(x)=\frac{Y_1(2)J_0\big(2e^{x/2}\big)-J_1(2)Y_0\big(2e^{x/2}\big)}{Y_1(2)J_0(2)-J_1(2)Y_0(2)}$$