コインを投げたときのゲームの期待値

Question

あなたは\ $ $ 10,000 $から始めます。あなたは公正なコインを投げます。

• あなたが頭を得るならば、あなたは支払われます\ $ $1$。
• あなたがしっぽを得るならば、あなたはあなたの友人にあなたの現在のお金の半分を支払います。

あなたが後に持っている予想される金額はいくらですか $n$ ラウンド？

それでは、初期金額を次のように定義しましょう。 $x_{0} = 10000$。次に、ラウンド1では、$$ x_{1} = {1 \over 2}\left({x \over 2} + x + 1\right) $$ ラウンドノート $1$、私たちは持つことができます $2$ の可能な値 $x_{1}$。 $5000$ そして $10,001$。だからラウンドで$2$、私たちは持つことができます $4$可能な値。ラウンドで明らかに$n$、 我々は持っています $2^{n}$ 可能な値、すべて等しい確率。

今、これは私が正しくやっていると思う部分の1つですが、正当化する方法がわかりません。物事を単純化するために、私は持っている代わりにそれを主張しています$2^{n}$ ラウンドで可能な値 $n$、単一の値があります。これは、 $2^{n}$値。だから、例えば、私は崩壊することができます$2$ ラウンドの値 $1$ に $\left(10001 + 5000\right)/2 = 7500.5$。そうすることで、私たちの再帰が

$$ x_{n} = {1 \over 2}\left({x_{n - 1} \over 2} + x_{n - 1} + 1\right) $$

1. 私の最初の質問は、「崩壊」を正当化するにはどうすればよいかということです。いくつかの用語を書くと、それがわかります$$ x_{n} = 0.75^{n}\, x_{0} + \sum_{i = 0}^{n - 1}0.75^{i} \times 0.5 $$
2. 私の2番目の質問は、ここで完了したのか、それとも簡略化されていることを証明する必要があるのか​​ということです。 $x_{n}$ それだけに依存します $x_{0}$誘導によって保持しますか？この式は、いくつかの項目を書き、非常に明確なパターンがあるので、目を見張る/誘発することで見つけたので、それで十分な証拠だと思いますか？

Answer 1

あなたの考えは正しいです。それを正当化するために、あなたはタワールールに訴えることができます、なぜなら$X_n$ 与えられた $X_{n-1}$ あなたに与えられます。 $$E[X_n] = E[E[X_n \mid X_{n-1}]] = E[0.5(X_{n-1}/2 + X_{n-1} + 1)] = \frac{3}{4} E[X_{n-1}] + \frac{1}{2}.$$