効果的な除数が $\mathbb{P}^n$ ポジティブ？
私はグリフィスとハリス、代数的幾何学の原則を読んでいます、そしてそれはそれを書いています
「上の有効な非ゼロ除数 $\mathbb{P}^n$ ポジティブです」
159ページ。それは明らかですか？その本には何の説明もないようです。
ここで、関連する直線束に曲率形式が正のエルミート計量がある場合、除数は正と呼ばれます。
超平面除数はフビニ・スタディ計量を誘発するので正であることは知っていますが、一般的な既約超曲面をどのように扱うかはわかりません。
回答
未回答のリストからこれを取り除くためだけに。
元の投稿で述べたように、効果的な因子 $D$ オン $\mathbb{P}^n$ は有限和です $\displaystyle \sum_i a_i V_i$ どこ $a_i\in\mathbb{Z}^{\geqslant 0}$ そして $V_i$ の既約部分多様体です $\mathbb{P}^n$。関連する直線束の場合、このような除数を正と呼びます$\mathcal{O}(D)$正の曲率を持つエルミート計量があります。次の場合は簡単にわかります$D_1,\ldots,D_m$ ポジティブであるならそうです $D_1+\cdots +D_m$。
だから、すべての効果的な除算器が $\mathbb{P}^n$ 正の数であるということは、フォームのすべての除数を示すだけで十分です。 $V$ ここで正です $V$閉じた分析部分多様体です。しかし、チョウの定理により、私たちはそれを知っています$V=V(f)$ どこ $f$ の同次多項式は $n+1$-次数の変数 $d$。しかし、それを手ですばやく確認することができます$V(f)$ その場合、 $dH$ どこ
$$\mathbb{P}^{n-1}\cong H:=\{[0:z_1:\cdots:z_n]\}\subseteq \mathbb{P}^n$$
したがって、上記の観察により、それを示すだけで十分です。 $H$ポジティブです。しかし、これは明らかです。
また、すべての主張を検証することができます $V$ の倍数と線形的に同等です $H$次のようにチョウの定理に訴えることなく。線束が$\mathbb{P}^n$ によって分類されます $H^1(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}^\times)$。しかし、指数シーケンスによって
$$0\to \underline{2\pi i\mathbb{Z}}\to \mathcal{O}\to \mathcal{O}^\times\to 0$$
正確なシーケンスを取得します
$$H^1(\mathbb{P}^n,\underline{2\pi i\mathbb{Z}})\to H^1(\mathbb{P}^n,\mathcal{O})\to H^1(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}^\times)\to H^2(\mathbb{P}^n,\underline{2\pi i \mathbb{Z}})\to H^2(\mathbb{P}^n,\mathcal{O})$$
だが、
$$H^i(\mathbb{P}^n,\underline{2\pi i \mathbb{Z}})\cong H^i_\text{sing}(\mathbb{P}^n,\mathbb{Z})=\begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{if}\quad i\in\{0,2,\ldots,2n\}\\ 0 & \mbox{if}\quad \text{otherwise}\end{cases}$$
そして
$$H^i(\mathbb{P}^n,\mathcal{O})=\begin{cases} \mathbb{C} & \mbox{if}\quad i=0\\ 0 & \mbox{if}\quad \text{otherwise}\end{cases}$$
私たちがそれを見るところから
$$\mathrm{Pic}(\mathbb{P}^n)\cong H^1(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}^\times)\cong H^1(\mathbb{P}^n,\underline{2\pi i \mathbb{Z}})\cong \mathbb{Z}$$
地図を呼ぶ
$$H^1(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}^\times)\to H^2(\mathbb{P}^n,\underline{2\pi i\mathbb{Z}})\cong \mathbb{Z}$$
「チャーン類の地図」とそれを表す $c$。上記が示しているのは、直線束が$\mathbb{P}^n$ チャーン類によって完全に決定されます。
さて、それを直接確認するのは難しくありません $c(\mathcal{O}(H))=1$ そして一般的に $c(\mathcal{O}(D))>0$ もし $D$ 効果的です（サイクルクラスマップについて考えてください）。その場合、次のようになります。 $\mathcal{O}(D)\cong \mathcal{O}(H)^{c(\mathcal{O}(D))}$ または、言い換えれば、 $D\sim c(\mathcal{O}(D))H$ （どこ $\sim$ 同等性を示します）。