この数が7で割り切れることを証明する[重複]

Question

誘導を使用せずに、7が分割されることをどのように証明できますか $3^{2n+1}+2^{n+2}$ それぞれについて $n\in\mathbb{N}$？を使って拡張してみました$\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=1+x+..+x^n$しかし、私は成功しませんでした。複数の証明が提供されれば素晴らしいでしょう。

Answer 1

\ begin {eqnarray *} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty}（3 ^ {2n + 1} + 2 ^ {n + 2}）x ^ n = \ frac {3} {1-9x} + \ frac {4} {1-2x} = \ frac {\ color {red} {7}（1-6x）} {（1-9x）（1-2x）}。\ end {eqnarray *}この関数には明らかに整数係数があります\ begin {eqnarray *} \ frac {（1-6x）} {（1-9x）（1-2x）} =（1-6x）\ left（1 + 9x + 81x ^ 2 + \ cdots \ right）\ left（1 + 2x + 4x ^ 2 + \ cdots \ right）。\ end {eqnarray *}

Answer 2

ヒント：単純化する $3^{2n+1}+2^{n+2}$ モジュロ $7$、という事実を使用して $3^{2n+1}=3\cdot 3^{2n}$ そして $3^2\equiv2\pmod7$。

Answer 3

$3^{2n + 1} + 2^{n+2} = 3\cdot 3^{2n} + 2^2\cdot 2^n = 3\cdot(9)^n + 4\cdot s2^n\equiv 3\cdot(2)^n + 4\times 2^n = 7\cdot 2^n\equiv 0\pmod 7$。

Answer 4

$3^{2n+1}+2^{n+2}=3\times9^n+4\times2^n=7\times2^n+3\times(9^n-2^n)$

$=7\times2^n+3\times(9-2)(9^{n-1}+\cdots+2^{n-1})=\color{red}7\times2^n+3\times\color{red}7(9^{n-1}+\cdots+2^{n-1})$