このセットは実際にはどういう意味/含まれていますか？[複製]

Question

次のセットを理解するのに問題があります。

$$\mathbb{Z}[\sqrt{2}] := \{ a + \sqrt{2}b : a,b \in \mathbb{Z}\}$$実際にはどのような要素が含まれていますか？私は思った$\mathbb{Z}$ 整数のみが含まれているので、のルートは何ですか $2$ 後ろに $\mathbb{Z}$ 平均？

ありがとうございました。

Answer 1

あなたが正しいです： $\mathbb{Z}$整数のみが含まれます。ただし、ここに表示されるセットは、$\mathbb{R}$ したがって、 $\sqrt{2}$。

表記は、フォームのすべての要素が含まれていることを示しています $a+\sqrt{2}b$、 どこ $a$ そして $b$整数です。いくつか例を挙げましょう。

$a=b=1$：その後 $a+\sqrt{2}b = 1+\sqrt{2}$。

$a=b=0$：その後 $a+\sqrt{2}b = 0$。

$a=3, b=-2$：その後 $a+\sqrt{2}b = 3-2\sqrt{2}$。

$b = 0$：その後 $a+\sqrt{2}b = a$このため、任意の整数がセットに含まれます。しかし、あなたが見たように、$1+\sqrt{2}$ そのセットの一部にすることができます。

これが物事を少し片付けるのに役立つことを願っています。