この強い凸性の推定は成り立ちますか？
しましょう $F:[0,\infty) \to [0,\infty)$ である $C^2$ 厳密に凸関数、そして $r_0<r_1$正の固定定数である。しましょう$$a<r_0<r_1<c<b, \tag{1}$$ そしてしましょう $\lambda \in [0,1]$ 満足させる $ \lambda a +(1-\lambda)b=c. $
セットする $D(a,b,c)=\lambda F(a)+(1-\lambda)F(b)-F(c) $。
質問：定数は存在しますか $m>0$ （これは $f,r_0,r_1$ しかし、 $a,b,c$） そのような $ D(a,b,c) \ge m\lambda(1-\lambda)(r_1-r_0)^2 $ の任意の選択のために $a,b,c$ 満足条件 $(1)$？
重要なポイントは次のとおりです。
場合 $f'' \ge m$、その後 $f$パラメータと強く凸である$m$、 そう $$ D(a,b,c) \ge \frac{1}{2}m\lambda(1-\lambda)(b-a)^2 \ge \frac{1}{2}m\lambda(1-\lambda)(r_1-r_0)^2 \tag{2} $$要求に応じ。しかし、私たちの場合、$c$ そして $b$ 任意に大きくすることができ、 $F$ 次の場合、「凸状が少なくなる」（アフィンに近い）可能性があります $x \to \infty$。言い換えれば、$\lim_{x \to \infty}F''(x)=0$、次に下限 $(2)$ 些細な限界になります $$ D(a,b,c) \ge \frac{1}{2} (\inf F'')\lambda(1-\lambda)(b-a)^2=0. $$
そのため、ここでは強い凸面の「素朴な適用」はそのままでは適用されません。しかし、私の直感は、$\lim_{x \to \infty}F''(x)=0$、どういうわけか、固定の間にある「強い凸状の内容」に遭遇するはずです $r_0$ そして $r_1$ だから「凸ギャップ」 $D(a,b,c)$ ゼロから離れて制限する必要があります。
表現しようと思った $D(a,b,c)$ のいくつかの積分として $F''$ を含むドメイン上 $[r_0,r_1]$ しかし、これまでのところ成功していません。
回答
それを要求するのに十分な場合 $F$ 厳密に凸であり、間隔で微分可能です $I \subset \Bbb R$。（微分可能性の要件を削除することもできます。回答の最後にある備考を参照してください。）
ために $a, b \in I$ と $a < b$ そして $c = \lambda a + (1 - \lambda) b$ と $0 \le \lambda \le 1$ 我々は書ける $$ D(a, b, c) = \lambda F(a)+(1-\lambda)F(b)-F(c) \\ = \lambda \bigl \{ F(a) - F(c) - (a-c)F'(c) \bigr\} + (1- \lambda) \bigl \{F(b) - F(c) - (b-c)F'(c)\bigr\} \, . $$
これは紹介することを示唆している $$ H(u, v) = F(u) - F(v) - (u-v) F'(v) $$ ために $u, v \in I$。 $H$ 次のプロパティがあります。
- $H(u, v) > 0$ もし $u \ne v$。
- $H(u_1, v) > H(u_2, v)$ もし $u_1 < u_2 \le v$、すなわち $H(u,v)$ で減少しています $u$ 限り $u \le v$。
- $H(u, v_1) < H(u, v_2)$ もし $u \le v_1 < v_2$、すなわち $H(u, v)$ で増加しています $v$ 限り $u \le v$。
プロパティ（1）は、厳密な凸性の直接的な結果です。 $F(u)$ での接線の対応する値よりも大きい $x=v$。
プロパティ（2）については、 $u_1 < u_2 \le v$ と計算 $$ H(u_1, v) - H(u_2, v) = F(u_1) - F(u_2) - (u_1 - u_2) F'(v) \\ \ge F(u_1) - F(u_2) - (u_1 - u_2) F'(u_2) = H(u_1, u_2) > 0 \, . $$ ここでそれを使用しました $F'$ 増加しています。
プロパティ（3）については、 $u \le v_1 < v_2$ と計算 $$ H(u,v_1) - H(u, v_2) = -F(v_1) - (u-v_1)F'(v_1) + F(v_2) + (u-v_2) F'(v_2) \\ \le -F(v_1) - (u-v_1)F'(v_2) + F(v_2) + (u-v_2) F'(v_2) \\ = -H(v_1, v_2) < 0 \, . $$
これらのツールを使用して、見積もり $D(a, b, c)$下から簡単になります。場合$a \le r_0 < r_1 \le c < b$ その後 $$ D(a, b, c) = \lambda H(a, c) + (1-\lambda)H(b,c) \\ \ge \lambda H(a, c) \ge \lambda H(r_0, r_1) \ge \lambda(1- \lambda) H(r_0, r_1) \\ = m \lambda(1-\lambda) (r_1-r_0)^2 $$ と $m$ として定義 $$ m = \frac{H(r_0, r_1)}{(r_1-r_0)^2} = \frac{F(r_0) - F(r_1) - (r_0 - r_1) F'(r_1)}{(r_1-r_0)^2} > 0 \, . $$
備考：
- その仮定 $F$ でのみ定義されています $[0, \infty)$ の値で $[0, \infty)$ 証明には使用されませんでした。
- 微分可能性の要件も削除できます。凸関数は、区間のすべての内側の点に片側導関数を持ちます。上記の証明は、交換しても機能します$F'$ 右（または左）導関数によって。
代替ソリューション
最高の定数であることを証明しましょう $m$ です $$m = \frac{F(r_0) - F(r_1) - F'(r_1)(r_0 - r_1)}{(r_1 - r_0)^2} > 0.$$ （注：実際には、 $\frac{1}{(r_1 - r_0)^2}\int_{r_0}^{r_1} (x- r_0) F''(x) \mathrm{d} x$ 以来、これはポジティブです $F(x)$ 厳密に凸です。）
まず、問題を次のように言い換えます。
しましょう $F : [0, \infty) \to [0, \infty)$ である $\mathrm{C}^2$厳密に凸関数。しましょう$0 < r_0 < r_1$固定定数である。定数はありますか$m > 0$ そのような $$\lambda F(a) + (1 - \lambda)F(b) - F(\lambda a + (1 - \lambda)b) \ge m \lambda (1 - \lambda) (r_1 - r_0)^2$$ 実数の場合 $a, b, \lambda$ 満足 $$0 < \lambda < 1, \quad 0 \le a < r_0 < r_1 < \lambda a + (1 - \lambda) b\ ?$$
第二に、 \begin{align} &\inf_{0 < \lambda < 1,\ 0 \le a < r_0 < r_1 < \lambda a + (1 - \lambda) b} \frac{\lambda F(a) + (1 - \lambda)F(b) - F(\lambda a + (1 - \lambda)b)}{\lambda (1 - \lambda)}\\ =\ & \inf_{0 < \lambda < 1, \ 0 \le a < r_0} \left(\inf_{b > \frac{r_1 - \lambda a}{1 - \lambda}} \frac{\lambda F(a) + (1 - \lambda)F(b) - F(\lambda a + (1 - \lambda)b)}{\lambda (1 - \lambda)}\right)\\ =\ & \inf_{0 < \lambda < 1, \ 0 \le a < r_0} \frac{\lambda F(a) + (1 - \lambda)F(\frac{r_1 - \lambda a}{1 - \lambda}) - F(r_1)}{\lambda (1 - \lambda)} \tag{1}\\ =\ & \inf_{0 < \lambda < 1} \left(\inf_{0 \le a < r_0} \frac{\lambda F(a) + (1 - \lambda)F(\frac{r_1 - \lambda a}{1 - \lambda}) - F(r_1)}{\lambda (1 - \lambda)} \right)\\ =\ & \inf_{0 < \lambda < 1} \frac{\lambda F(r_0) + (1 - \lambda)F(\frac{r_1 - \lambda r_0}{1 - \lambda}) - F(r_1)}{\lambda (1 - \lambda)} \tag{2}\\ =\ & \inf_{y > r_1} \frac{(y - r_0)(y - r_1)F(r_0) + (r_1 - r_0)(y - r_0)F(y) - (y - r_0)^2F(r_1)}{(r_1 - r_0)(y - r_1)} \tag{3}\\ =\ & \lim_{y \to r_1} \frac{(y - r_0)(y - r_1)F(r_0) + (r_1 - r_0)(y - r_0)F(y) - (y - r_0)^2F(r_1)}{(r_1 - r_0)(y - r_1)} \tag{4}\\ =\ & F(r_0) - F(r_1) - F'(r_1)(r_0 - r_1). \tag{5} \end{align}説明：
（1）：$f(b) = (1 - \lambda)F(b) - F(\lambda a + (1 - \lambda)b)$、 我々は持っています $f'(b) = (1 - \lambda)F'(b) - (1 - \lambda) F'(\lambda a + (1 - \lambda)b) \ge 0$ （注意： $F'(x)$ 減少しない）、したがって $f(b)$ 減少していません $[b, \infty)$。
（2）：$g(a) = \lambda F(a) + (1 - \lambda)F(\frac{r_1 - \lambda a}{1 - \lambda})$、 我々は持っています $g'(a) = \lambda F'(a) - \lambda F'(\frac{r_1 - \lambda a}{1 - \lambda}) \le 0$ （注意： $F'(x)$ 減少しない）、したがって $g(a)$ 増加していない $[0, r_0)$。
（3）：置換を使用する$y = \frac{r_1 - \lambda r_0}{1 - \lambda}$。
（4）：次の事実を使用します（証明は最後に示されています）：
事実1：$$g(y) \triangleq \frac{(y - r_0)(y - r_1)F(r_0) + (r_1 - r_0)(y - r_0)F(y) - (y - r_0)^2F(r_1)}{(r_1 - r_0)(y - r_1)}.$$ 次に $g'(y) \ge 0$ オン $(r_1, \infty)$。
（5）ロピタルの定理を適用します。
完了です。
$\phantom{2}$
事実の証明1：私たちは$y > r_1$、 \begin{align} (r_1 - r_0)(y - r_1)^2g'(y) &= (y - r_1)^2F(r_0) - (r_1 - r_0)^2F(y)\\ &\quad + (r_1 - r_0)(y - r_0)(y - r_1)F'(y)\\ &\quad + (-2(y - r_0)(y - r_1) + (y - r_0)^2)F(r_1) \\ &= (y - r_1)^2F(r_0) - (r_1 - r_0)^2( F(y) - F(r_1) ) \\ &\quad - (r_1 - r_0)^2F(r_1) + (r_1 - r_0)(y - r_0)(y - r_1)F'(y)\\ &\quad + (-2(y - r_0)(y - r_1) + (y - r_0)^2)F(r_1)\\ &\ge (y - r_1)^2F(r_0) - (r_1 - r_0)^2(y - r_1)F'(y) \\ &\quad - (r_1 - r_0)^2F(r_1) + (r_1 - r_0)(y - r_0)(y - r_1)F'(y)\\ &\quad + (-2(y - r_0)(y - r_1) + (y - r_0)^2)F(r_1)\\ &= (y - r_1)^2F(r_0) - (y - r_1)^2F(r_1) + (r_1 - r_0)(y - r_1)^2F'(y) \\ &\ge (y - r_1)^2F(r_0) - (y - r_1)^2F(r_1) + (r_1 - r_0)(y - r_1)^2F'(r_1)\\ &= (y - r_1)^2[F(r_0) - F(r_1) - F'(r_1)(r_0 - r_1)]\\ &\ge 0 \end{align} 私たちが使用した場所 $(y - r_1)F'(y) \ge F(y) - F(r_1)$ そして $F(r_0) - F(r_1) - F'(r_1)(r_0 - r_1) \ge 0$ そして $F'(y) \ge F'(r_1)$ （注意： $F(x) \ge F(y) + F'(y)(x-y)$ 凸関数の場合; $F'(x)$減少していません。）完了です。