これをマルコフ連鎖としてどのようにモデル化しますか?
異なる速度で故障する2台のマシンがあります。µ$_A$マシンAおよびµの場合$_B$機械Bの場合。故障した場合、2人の修理工のうちの1人が機械を修理できます。2人の修理工XとYが異なる能力を持ち、パラメーターλを使用して指数関数的にランダムな時間で修理するとします。$_X$およびλ$_Y$、それぞれ。(ただし、料金は修理するマシンによって異なります。)
これをマルコフ連鎖としてどのようにモデル化しますか?
回答
一方が故障したときに両方のマシンが機能している場合、修理担当者がマシンを修理するために選ばれる確率は等しいと想定します。状態空間は $$ S=\{(1,1), (0_X,1), (0_Y,1), (1,0_X), (1,0_Y), (0_X,0_Y), (0_Y,0_X) \}. $$ 遷移率は次の式で与えられます。 $$ q_{(i,j),(i',j')} = \begin{cases} \frac{\mu_A}2,& (i,j)=(1,1)\text{ and } (i',j') \in \{(0_X,1),(0_Y,1)\}\\ \frac{\mu_B}2,& (i,j)=(1,1)\text{ and } (i',j') \in \{(1,0_X),(1,0_Y)\}\\ \lambda_X,& (i,j) \in \{(0_X,1),(1,0_X)\} \text{ and } (i',j') = (1,1)\\ \lambda_Y,& (i,j) \in \{(0_Y,1),(1,0_Y)\} \text{ and } (i',j') = (1,1)\\ \mu_A,& (i,j) = (1,0_X)\text{ and } (i',j') = (0_Y,0_X)\\ \mu_A,& (i,j) = (1,0_Y)\text{ and } (i',j') = (0_X,0_Y)\\ \mu_B,& (i,j) = (0_X,1)\text{ and } (i',j') = (0_X,0_Y)\\ \mu_B,& (i,j) = (0_Y,1)\text{ and } (i',j') = (0_Y,0_X)\\ \lambda_X,& (i,j) = (0_X,0_Y)\text{ and } (i',j') = (1,0_Y)\\ \lambda_X,& (i,j) = (0_Y,0_X)\text{ and } (i',j') = (0_Y,1)\\ \lambda_Y,& (i,j) = (0_X,0_Y)\text{ and } (i',j') = (0_X,1)\\ \lambda_Y,& (i,j) = (0_Y,0_X)\text{ and } (i',j') = (1,0_X)\\ 0,& \text{otherwise.} \end{cases} $$ しましょう $Z(t)$ 当時のシステムの状態である $t$、その後 $\{Z(t):t\geqslant 0\}$ 生成行列を持つ連続時間マルコフ連鎖です $$ Q = \small\left( \begin{array}{ccccccc} -\left(\mu _A+\mu _B\right) & \frac{\mu _A}{2} & \frac{\mu _B}{2} & \frac{\mu _A}{2} & \frac{\mu _B}{2} & 0 & 0 \\ \lambda _X & -\left(\mu _B+\lambda _X\right) & 0 & 0 & 0 & \mu _B & 0 \\ \lambda _Y & 0 & -\left(\mu _B+\lambda _Y\right) & 0 & 0 & 0 & \mu _B \\ \lambda _X & 0 & 0 & -\left(\mu _A+\lambda _X\right) & 0 & 0 & \mu _A \\ \lambda _Y & 0 & 0 & 0 & -\left(\mu _B+\lambda _Y\right) & \mu _B & 0 \\ 0 & \lambda _Y & 0 & 0 & \lambda _X & -\left(\lambda _X+\lambda _Y\right) & 0 \\ 0 & 0 & \lambda _X & \lambda _Y & 0 & 0 & -\left(\lambda _X+\lambda _Y\right) \\ \end{array} \right). $$ このプロセスには、固有の定常分布があります $\pi$ これは $$ \pi_{(i,j)} = \lim_{t\to\infty} \mathbb P(Z_t = (i,j)) $$ (の分布とは無関係 $Z_0$)。私たちは見つけることができます$\pi$ 行列指数を計算することによって $e^{Qt}$ (これはコルモゴロフ後方方程式のユニークな解です $P'(t)=QP(t)$、 $P'(0)=Q$)そしての行のいずれかを取る $\lim_{t\to\infty} e^{Qt}$。より実際的には、$\pi$ 線形方程式系を満たします $\pi Q=0$。ご了承ください$Q$ 単数です(つまり $\det Q=0$)行の合計がゼロになるため、方程式の1つを次のように置き換える必要があります。 $\sum_{(i,j)\in S} \pi_{(i,j)}=1$。ただし、この行列のサイズとパラメーターの数のために、閉じた形の解は少し扱いにくいです。たとえば、私はそれを見つけました $$ \pi_{(1,1)} = \tiny\frac{2 \lambda _X \lambda _Y \left(2 \mu _B+\lambda _X+\lambda _Y\right) \left(\mu _A+\mu _B+\lambda _X+\lambda _Y\right)}{\lambda _X^2 \left(\mu _B \left(3 \mu _A+10 \lambda _Y\right)+\left(\mu _A+2 \lambda _Y\right){}^2+6 \mu _B^2\right)+\lambda _X \left(\mu _B \left(7 \mu _A \mu _B+4 \mu _A^2+5 \mu _B^2\right)+\lambda _Y^2 \left(6 \mu _A+8 \mu _B\right)+\lambda _Y \left(\mu _A+3 \mu _B\right) \left(3 \mu _A+4 \mu _B\right)+2 \lambda _Y^3\right)+\left(\mu _B \left(3 \mu _A+4 \lambda _Y\right)+2 \lambda _Y \left(\mu _A+\lambda _Y\right)+\mu _B^2\right) \left(\mu _B \left(\mu _A+\mu _B\right)+\mu _A \lambda _Y\right)+2 \lambda _X^3 \left(\mu _B+\lambda _Y\right)} $$ (分母はページが伸びないように2行に分割されています)。