固体空間は局所的に収縮可能

Question

SteenrodのTheTopology of Fiber Bundlesのセクション12を読んでいるときに、質問があります。

空間 $Y$通常のスペースの場合、ソリッドと呼ばれます$X$、閉集合 $A$ の $X$、およびマップ $f:A\to Y$、地図があります $f':X\to Y$ そのような $f'|_A=f$。

しましょう $Y$ そのようにしっかりしている $Y\times I$は普通。ポイントを修正する$y_0\in Y$。ご了承ください$A:=(Y\times 0)\cup (y_0\times I)\cup (Y\times I)$ の閉集合です $Y\times I$。定義する$f:A\to Y$ 沿って $f(y,0)=y$、 $f(y,1)=y_0$ そして $f(y_0,t)=y_0$。その後の堅牢性$Y$ ことを意味します $f$ に拡張 $f':Y\times I\to Y$。今$f'$ からのホモトピーです $\textrm{id}_Y$ 定数マップへ $Y\to y_0$。したがって、$Y$収縮可能です。以来$y_0$ は恣意的であり、次のようにもなります $Y$ ローカルで契約可能です。

理由がわからない $Y$ローカルで契約可能です。この議論はどのように$Y$ 任意の小さな局所的に収縮可能な近隣がありますか？

Answer 1

ソリッドスペースのより一般的な表記法は、「通常のスペースの絶対伸筋」です。

あなたの建設 $f'$ を示す $(Y,y_0)$それぞれの可縮性が指摘されています$y_0 \in Y$。これはすぐにそれを意味します

オープンネイバーフッドごとに $U$ の $y_0$ に $Y$ オープンな近所があります $V$ の $y_0$ に $Y$ に含まれた $U% $ そのような包含 $V \hookrightarrow U$ nullホモトピーです。

このプロパティが満たされている場合、 $Y$でローカルに契約可能と呼ばれます$y_0$。場合$Y$すべての点で局所的に収縮可能であり、局所的に収縮可能と呼ばれます。

これが標準の定義です。それぞれの要件$y_0 \in Y$任意に小さい（開いた）可縮近傍がより強く、それがすべての絶対伸筋に当てはまるとは思えません。Steenrodの定義を確認する必要があります。

も参照してください https://math.stackexchange.com/q/1082601 。