区間制限除数の数の瞬間
私は以前に質問をしました。切り捨てられた除数関数の合計$$ S_f(x)=\sum_{n\leq x} \min\{f(x),d(n)\}\quad (1) $$ 興味深く、満足のいく回答が得られました。
ここで、私は次の量を見積もることに興味があります $$ S_a(x,m)=\sum_{n\leq x} \#\{d: d|n~\mathrm{and}~d\leq m\}^a $$ したがって、除数はサイズが制限されているか、間隔に制限されています $[1,m]$ (1)のように「数」ではありません。
いつ $a=1,$ 合計は水平方向に評価できるため、これは(主項を取得する限り)簡単です。 $$ S_1(x,m)=\sum_{d\leq m} \lfloor x/d \rfloor=\left[\sum_{d\leq m} \frac{x}{d}\right]+O(m)=x \log m + O(m), $$ 通常、私は比較的小さな値に興味があります $m$ の面では $x$。
どうですか $a\neq 1$?特に、$a=1/2,$ または $a=2,3,$ など。これらの合計をどのように見積もることができますか?
回答
私たちは仮定します $m\leq x$。君の$S_1(x,m)$ 実際には、 $x\log m + O(m)$。
この答えはの見積もりを見つけます $S_2(x,m)$。
$$ \begin{align} S_2(x,m)&=\sum_{n\leq x} \left(\sum_{d|n, d\leq m} 1 \right)^2=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \sum_{n\leq x, [d_1,d_2]|n}1\\ &=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac x{[d_1,d_2]}+O(m^2), \end{align} $$ どこ $[d,u]=\mathrm{lcm}(d,u)$。
最初の合計の見積もりを見つけるには、 $[d_1,d_2]=d_1d_2/(d_1,d_2)$ どこ $d=(d_1,d_2)=\mathrm{gcd}(d_1,d_2)$、 私達は書く $d_1=dk$、 $d_2=dl$ と $(k,l)=1$。確立する$(k,l)=1$、アイデンティティを使用します $\sum_{d|n}\mu(d) = \delta_1(n)$、 どこ $\delta_1(n)=1$ いつ $n=1$、 $0$さもないと。次に$k=uv$、 $l=uw$、 そのため $d_1=duv$、 $d_2=duw$、 $[d_1,d_2]=dkl=du^2vw$。次に
$$ \begin{align} \sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac1{[d_1,d_2]}&= \sum_{duv\leq m, duw\leq m} \frac{\mu(u)}{du^2vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \sum_{v\leq m/du, w\leq m/du} \frac1{vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \left( \log^2(m/du) + O(\log m)\right)\\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u}\frac{\mu(u)}{du^2}\left(\log^2m-2\log m\log du+\log^2 du\right)\\ &=\frac1{\zeta(2)}\log^3 m-\frac1{\zeta(2)}\log^3m + \frac1{3\zeta(2)}\log^3m + O(\log^2m)\\ &=\frac1{3\zeta(2)}\log^3m+O(\log^2m)\\ &=\frac2{\pi^2}\log^3m + O(\log^2m). \end{align} $$ したがって、 $$ S_2(x,m)=\frac{2x}{\pi^2}\log^3m + O(x\log^2m)+O(m^2). $$
入手できるかもしれません $S_a(x,m)$同じ方法で。ただし、結果の合計はより複雑になります。