クラメール・ラオの下限 $g(\lambda)$ = $e^{-\lambda}$ いつ $x_i \sim Pois(\lambda)$

Question

しましょう $x_1 ... x_n$ あります $Pois(\lambda)$、 $\lambda>0$ そして $n \geq 2$。使用する$W(X)=I(X_1=0)$ 見積もる $g(\lambda)=e^{-\lambda}$。さらに、$T(X)= \sum_{i=1}^n X_i$ 十分統計量です $\lambda$。

私はすでにそれを証明しました $\phi(T(X))=(1-\frac{1}{n})^{\sum_{i=1}^n X_i}$ の不偏推定量です $e^{-\lambda}$。

証明したい $\phi(T(X))$ クラメール・ラオの下限に達しましたが、定義を適用して計算しようとすると迷子になります。

Answer 1

まず、の分散を計算しましょう $\phi(T(X))$：

$$\begin{align} \mathbb E[\phi(T(X))^2]&=\sum_{k=1}^\infty \frac{e^{-n\lambda}(n\lambda)^k}{k!}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2k}\\ &=e^{-n\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{(n\lambda)^k}{k!}\left(1-\frac 2n+\frac 1{n^2}\right)^k\\ &=e^{-n\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\left(n\lambda-2\lambda+\frac{\lambda}{n}\right)^k\\ &=e^{-n\lambda}\cdot e^{n\lambda-2\lambda+\frac\lambda n}\\ &=e^{\lambda\left(\frac{1}{n}-2\right)} \end{align}$$

そして、その事実を使用して $\phi(T(X))$ 偏りがない：

$$\begin{align} \text{Var}(\phi(T(X)))&=\mathbb E[\phi(T(X))^2]-\mathbb E[\phi(T(X))]^2\\ &=e^{\lambda\left(\frac{1}{n}-2\right)}-e^{-2\lambda}\\ &=e^{-2\lambda}\cdot\left(e^{\lambda/n}-1\right) \end{align}$$

ここで、これをクラメール・ラオ境界と比較する必要があります。尤度関数は次の式で与えられます。

$$\begin{align} \ell(\lambda)&=\sum_{i=1}^n\log\left(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{X_i}}{X_i!}\right)=-n\lambda + \log(\lambda)T(X)-\sum_{i=1}^n\log(X_i!) \end{align}$$

次に、フィッシャー情報を取得できます。

$$\begin{align} \mathcal I_F&=-\mathbb E\left[\frac{\partial^2\ell(\lambda)}{\partial\lambda^2}\right]=\mathbb E\left[\frac{T(X)}{\lambda^2}\right]=\frac n\lambda \end{align}$$

最後に、クラメール・ラオ行き $g(\lambda)$ は：

$$\frac{g'(\lambda)^2}{\mathcal I_F}=\frac{e^{-2\lambda}}{n/\lambda}=\frac{\lambda}{n}e^{-2\lambda}$$

これは以前に見つけた分散とは異なるため、見つけた推定量はクラメール・ラオ限界に達していません。テイラー展開を使用して、推定量が漸近的に効率的であること、つまり、推定量の分散がクラメール-ラオ限界に漸近的に等しいことを証明することもできます。

お役に立てば幸いです。