繰り返される複素固有値の複素共役の多重度

Question

実数値の行列の場合、複素固有値は複素共役のペアになることを私は知っています。ただし、繰り返される複素固有値（つまり、多重度が1より大きい複素固有値）ではどうなるのでしょうか。その場合、繰り返される複素固有値の複素共役は、その固有値と同じ多重度を持ちますか？その声明が成り立つ場合、それが真実であることをどのように示すことができますか？

Answer 1

実数行列の場合は確かに $A$ 複素固有値を持っています $\lambda$、次に共役固有値 $\bar \lambda$同じ代数的および幾何学的な多重度を持っています。実際、もう少し言えます。$$ (A - \lambda I)|_{\ker(A - \lambda I)} = (A - \bar \lambda I)|_{\ker(A - \bar \lambda I)}, $$つまり、固有値に関連付けられているすべての構造は同じです。つまり、ジョルダン標準形$A$ のブロックの数とサイズは同じです $\lambda$ そして $\bar \lambda$。

多重度を証明する限り、次のようになります。代数的多重度は根の多重度です。 $\lambda$ 特性多項式で $p(x) = \det(xI - A)$。実係数を持つすべての多項式に当てはまるように、根の多重度$\lambda$ これはルートの多重度と同じですか $\bar \lambda$。

幾何学的多重度の場合、1つのアプローチは次のとおりです。行列が満たすことに注意してください。 $\overline{A B} = \bar A \bar B$。したがって、$v$ 固有値に関連付けられた（複素）固有ベクトルです $\lambda$、それから私達は持っています $$ Av = \lambda v \implies \overline{Av} = \overline{\lambda v} \implies A \bar v = \bar \lambda \bar v. $$ 言い換えれば、地図 $v \mapsto \bar v$ は可逆です $\Bbb R$-の固有空間間の線形写像 $A$ と関連した $\lambda$ そして $\bar \lambda$。したがって、これらのスペースは同じ次元になります。