局所凸は凸を意味しますか？
凸集合について質問があります。
しましょう $\Omega\subset\mathbb R^n$オープンで接続されたセットである。もしあれば$x\in\overline{\Omega}$、近所があります $U_x$ そのような $\Omega\cap U_x$ 凸である場合 $\Omega$ 凸です。
直感的に、 $\Omega$ 凸状ではありません、上にポイントがなければなりません $\partial\Omega$ そのような $\Omega$局所的に凸状ではありません。しかし、私はそれを明確に書く方法がわかりません。あなたの助けに感謝します。
回答
この投稿の回答から定理の証明に従います。前述の投稿で受け入れられた答えははるかにクリーンですが、結果を任意のトポロジカルベクトル空間に一般化するための抽象的な機能分析からのいくつかのアイデアに依存しています。私が提示する証拠は、より具体的で難しい分析の側面にあります。
有界の結果を表示するだけで十分です $\Omega$、昇鎖条件の下で凸集合が閉じているため（交差するだけ） $\Omega$半径が増加するオープンボールを使用）。ルベーグカバー補題、そこに存在します$\epsilon > 0$ そのようなすべてのために $x \in \overline\Omega$、 が存在します $y \in \overline\Omega$ そのような $B_\epsilon (x) \subseteq U_y$、特に $B_\epsilon (x) \cap \Omega$凸です。言い換えると、$\Omega$ある均一に凸ローカル。
オープン接続を思い出してください。 $\overline{\Omega \cap U_x}$ 凸なので $\overline \Omega$パスが接続されています（これは一般的には当てはまりません！）。によって与えられるパス長関数$$\text{length}(\gamma) = \sup_{\Pi} \sum_{i} |\gamma(t_i) - \gamma(t_{i + 1})|$$ 上限がパーティションを引き継ぐ場所 $\Pi$ 連続パスのドメインが何であれ $\gamma: [a, b] \to \overline \Omega$は、連続関数の上限として、より低い半連続です。
修正 $x, y \in \overline\Omega$、次にArzela-Ascoliと弧長のパラメーター化（たとえばこの投稿を参照）によって議論すると、パスが存在します$\gamma : [0, 1] \to \overline\Omega$ 間の最小の長さの $x$ そして $y$。私たちはそれを主張します$\gamma$ は直線であり、 $\overline\Omega$ したがって、その内部 $\Omega$。
一様連続性により、 $n \in \mathbb N$ 十分に大きいので $$ |\gamma(i/2^n) - \gamma((i + 1)/2^n)| < \epsilon $$ すべてのために $i = 0, \dots, 2^n - 1$。簡潔にするために、$a_i = \gamma(i/2^n)$。我々は持っています$a_i \in \overline\Omega$ そして $a_{i - 1} , a_{i + 1} \in B_\epsilon (a_i)$。以来$\overline \Omega \cap B_\epsilon (a_i)$ が凸である（凸集合が閉じていることを示す通常の証明に従う）、間に線が存在する $a_{i - 1}, a_{i + 1}$ に $\overline \Omega \cap B_\epsilon (a_i)$、 あれを呼べ $\Gamma_i$。しかし、その後、パラメータ化することができます$$ \gamma([0, (i - 1)/2^n]) \cup \Gamma_i \cup \gamma([(i + 1)/2^n, 1]) $$ からのパスとして $x$ に $y$ に $\overline\Omega$ 長さがある $$ \text{length} \ \gamma([0, (i - 1)/2^n]) + |a_{i + 1} - a_{i - 1}| + \text{length} \ \gamma([(i + 1)/2^n, 1]) \geq \text{length} (\gamma). $$ 再配置、 $$ |a_{i + 1} - a_{i - 1}| \geq \text{length} \ \gamma([(i - 1)/2^n, (i + 1)/2^n]). $$ しかしもちろん、直線はユークリッド空間で唯一の最短経路であるため、これは経路の断面を意味します $\gamma([(i - 1)/2^n, (i + 1)/2^n])$まっすぐです。それぞれについて議論する$i$ 教えてくれます $\gamma$ 実際には直線であり、証明を完成させます。
編集（マイナーな専門性）：修正可能な（つまり有限長の）パスが任意の2点の間に存在することは完全には明らかではありませんが、これは、任意のパスに対して許可される証明の最後の部分からの一様連続性+局所凸性引数から得られます。区分的線形（「ポリゴン」と呼ばれることが多い）パスを構築する$\overline\Omega$明らかに有限の長さを持つ2点間。この構造の存在は、複雑な分析で、そしてもちろんこのシナリオで使用するのに便利なことがよくあります。