虚数部を計算するためのハダマールテスト

Question

の平均値を見つけることによってハダマールテストを理解しようとしています $U_1$、これは対角行列であり、 $1$ 最初の要素を除いてどこでも。

ウィキページに示されているように、通常のハダマードテストを実行しました。

これまでのところ、すべてが正常に機能しています。

虚数部を計算するためにハダマールテストを実行するための回路バリアントは何ですか？ウィキページには、$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-i |1\rangle)$ の代わりに $H|0\rangle$、-iの位相シフトを追加してテストを試みました $|0\rangle$ 適用することにより $U_s$ = $\begin{bmatrix}\ 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$ 後の制御量子ビット上 $H$、しかし、取得するのはランダムな測定値だけです

Answer 1

これが計算のための回路です $Im(\langle\psi|U |\psi \rangle)$（IBMの回路コンポーザー）：

初期状態： $$|\Psi_0 \rangle=|0\rangle |\psi\rangle$$

後 $S^{\dagger} H$ 最初のキュービット：

$$|\Psi_1 \rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - i|1\rangle) |\psi\rangle$$

制御 $U$

$$|\Psi_2 \rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle |\psi\rangle - i|1\rangle U |\psi\rangle)$$

コントロールキュービットの最後のアダマールの後：

\begin{align*} |\Psi_3 \rangle &=\frac{1}{2} \big[(|0\rangle + |1\rangle) |\psi\rangle - i(|0\rangle - |1\rangle) U |\psi\rangle \big] = \\ &=\frac{1}{2} \big[|0\rangle (|\psi\rangle - i U |\psi\rangle) + |1\rangle(|\psi\rangle + i U |\psi\rangle) \big] \end{align*}

測定の確率 $|0\rangle$ と測定の確率 $|1\rangle$：

$$p_0 = \frac{1}{4}\big[(\langle \psi | + i \langle \psi | U^{\dagger})(|\psi\rangle - i U |\psi\rangle) \big]= \frac{1}{4}\big[2 - i \langle\psi|U|\psi\rangle + i \langle\psi|U^{\dagger}|\psi\rangle \big] \\ p_1 = \frac{1}{4}\big[(\langle \psi | - i \langle \psi | U^{\dagger})(|\psi\rangle + i U |\psi\rangle) \big]= \frac{1}{4}\big[2 + i \langle\psi|U|\psi\rangle - i \langle\psi|U^{\dagger}|\psi\rangle \big]$$

なぜなら $U^\dagger U = I$ そして $\langle \psi|\psi \rangle = 1$。の期待値の計算$\sigma_z$：

$$\langle \sigma_z \rangle = p_0 - p_1 = -i \frac{\langle\psi|U |\psi \rangle - \langle\psi| U^{\dagger} |\psi \rangle}{2} = Im(\langle\psi|U |\psi \rangle)$$

したがって、回路は、ハダマードテストに関するウィキペディアのページで説明されているように機能します。

Answer 2

ここで、あなたはこのリンクが欲しかったと思います

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";

qreg q[2];
creg c[1];

x q[0];
x q[1];
h q[0];
s q[0];
cu1(pi) q[0],q[1];
h q[0];
measure q[0] -> c[0];