（Maclaurin）べき級数の参照 $e^{\arcsin(x)} $？

Question

p。ウィルフの「Generatingfunctionology」の60 、それは述べられています$$e^{\arcsin(x)} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\prod_{j=0}^{k-1} (4j^{2}+1) }{(2k)!}x^{2k} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{4^{k} \prod_{j=0}^{k} ((1/2) - j + j^{2}) }{(2k+1)!}x^{2k+1}.$$できれば逸脱を含めて、このアイデンティティについての言及があるかどうか疑問に思います。参照に、関連するべき級数（の証明を含む）も含まれていると便利です。$e^{\arccos(x)}$ そして $e^{\arctan(x)}$。

Answer 1

参照はありませんが、機能を確認するのは簡単です $g(x) = \exp(\arcsin(x))$ 微分方程式を満たす $$ (x^2-1) g'' + x g' + g = 0,\; g(0)=1,\; g'(0)=1$$ そこから、マクラウリン級数係数の線形漸化式を取得できます。 $$ (n^2+1) a_n - (n+1)(n+2) a_{n+2} = 0, \; a_0 = 1,\; a_1 = 1 $$ 与えられた式が漸化式を満たしていることを確認してください。

以来 $\arccos(x) = \pi/2 - \arcsin(x) = \pi/2 + \arcsin(-x)$、シリーズの入手は簡単です $\exp(\arccos(x))$。はどうかと言うと$\exp(\arctan(x))$、同様の方法で再発が $$ n a_n - a_{n+1} + (n+2) a_{n+2} = 0,\; a_0 = 1,\; a_1 = 1 $$OEISシーケンスA002019を参照してください。