$\mathbb{P}(X>Y)$ 均一な分布

Question

で定義された三角形の理由がわかりません $(0,0)$、$(0,2)$ そして $(2,0)$ と同時密度 $f_{XY}(x,y)=\frac{1}{2}$、私は取得します：

• $\mathbb{P}(X>Y)=f_{XY}(x,y)\cdot($三角形の面積 $(0,0)$、$(2,0)$ そして $(1,1))=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$

• $\mathbb{P}(X>Y)=\int_{0}^{2}[\int_{0}^{2-x}f_{XY}(x,y)\operatorname{dy}]\operatorname{dx}=1$

私たちが持っている場合、私はどこが間違っていますか $0<y<x<2$？

ご不明な点がございましたら、よろしくお願いいたします。

Answer 1

0 <y <x <2の場合、どこが間違っていますか？

私があなたに言ったように、いずれにせよ図面は助けることができます

あなたの目的は、パープルトライアングルに共同の否定を統合することです。この場合、最適な統合順序は「Y-simple」です。

$$\mathbb{P}[X>Y]=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{2-y}dx=\frac{1}{2}$$

Answer 2

あなたが必要 $y$ 未満になる $x$ および未満 $2-x$、または別の言い方をすれば $y< \min(x,2-x)$。したがって、正しい整数は \ begin {align *} \ mathbb {P}（X> Y）＆= \ int_0 ^ 2 \ int_0 ^ {\ min（x、2-x）} f（x、y）\：dyです。 \：dx \\＆= \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ xf（x、y）\：dy \：dx + \ int_1 ^ 2 \ int_0 ^ {2-x} f（x、y）\：dy \： dx \\＆= \ int_0 ^ 1 \ frac {x} {2} \：dx + \ int_1 ^ 2 \ frac {2-x} {2} \：dx \\＆= \ frac {1} {2} \ end {align *}