マトリックスの作成 $M(c)=N(c)-L(c)$ スカラーを選択することで正定 $c$、 どこ $N(c)$ 正の半確定です

Aug 19 2020

しましょう $P\in\mathbb{R}^{n\times m}$$n>m$ そして $Q\in\mathbb{R}^{n\times k}$$n>k$ そのような $P^T P = I_m$ そして $Q^T Q = I_k$。また、$\text{ker}P^T \cap \text{ker}Q^T = \emptyset$。次に、次の主張を証明します。

が存在します $c>1$ マトリックスが $$M = (I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T) - (I_n - cQQ^T)$$正定です。(あれは、$v^T M v > 0$ すべてのために $v\in\mathbb{R}^n$ そのような $v\neq 0$ または、同等に、のすべての固有値 $M$ 開いた右半分の複素平面にあります。)

上記の主張は正しいですか、それとも間違っていますか?本当の場合、それを証明する方法は?

備考1.マトリックス$(I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T)$ すべての人にとって正の半定値です $c$ それはの形であるため $H^T H$

備考2.マトリックス$(I_n - cQQ^T)$ は正の半確定です $c=1$ と正の明確な $0\leq c <1$。しかし、私たちが考えるので$c>1$、それは不定行列であることがわかります。つまり、正と負の両方の固有値があります。

回答

1 Chrystomath Aug 19 2020 at 17:20

しましょう $P=w=Q$$\|w\|=1$$c>1$、そして $v\cdot w=0$$v\ne0$。次に$$Mv=(I-cww^T)ww^T(I-cww^T)v-(I-cww^T)v=-v$$ $$\therefore v^TMv<0$$

より一般的には、 $v\in\ker P^T\cap\ker Q^T$、その後 $v^TMv\le0$


変更された質問への回答 $\ker P^T\cap\ker Q^T=\{0\}$

しましょう $m=1$$n>2$$P=w$$\|w\|=1$; しましょう$Q$ そのようなこと $Q^Tw=0$。次に、前と同じように$Mw=0$