見せる $\lim_{j\to\infty}j^{(2p-2)/p} \left| \int_{1/j+1}^{1/j}f(x)\,dx\right| =0$
を仮定して$1<p<\infty$それ$f \in L^p([0,1])$とを示します$\| f\|_p = M< \infty$、これが私がこれまでに持っているものです：
$$\lim_{j\to\infty}j^{(2p-2)/p}\left|\int_{1/j+1}^{1/j}f(x)\,dx \right| = \lim_{j\to\infty}j^{(2p-2)/p} \left|\int_{[0,1]}\mathbf{1}_{[1/j+1,1/j]}f(x)\,dx\right| \leq \lim_{j\to\infty}j^{(2p-2)/p}\int_{[0,1]}|\mathbf{1}_{[1/j+1,1/j]}f(x)|\,dx $$
今、その積分はちょうどです$\|\mathbf{1}_{[1/j+1,1/j]}f(x) \|_1$したがって、ホルダーの不等式によって：$$\|\mathbf{1}_{[1/j+1,1/j]}f(x) \|_1 \leq \|\mathbf{1}_{[1/j+1,1/j]} \|_{\frac{p}{p-1}}\|f(x)\|_p = M\bigg(\int_{[0,1]}|\mathbf{1}_{[1/j+1,1/j]}|^{\frac{p}{p-1}}\,dx \bigg)^{\frac{p-1}{p}}=M\left[\frac{1}{j(j+1)}\right]^{\frac{p-1}{p}} $$
そして、限界に置き換えて、$$\lim_{j\to\infty}j^{(2p-2)/p}\int_{[0,1]}|\mathbf{1}_{[1/j+1,1/j]}f(x)|\,dx \leq \lim_{j\to\infty}j^{\frac{2(p-1)}{p}}\left[\frac{1}{j(j+1)}\right]^{\frac{p-1}{p}}M = \lim_{j\to\infty}M \left[\frac{j^2}{j(j+1)}\right]^{\frac{p}{p-1}}=M$$
指数をどこかで台無しにしたことがありますか？それとも、これは完全に間違っていますか？ヒントとしてホルダーを使うように言われました。
回答
セットする$g_{j}(x) = j^{2/q}\cdot1_{[1/(j+1),1/j]}(x)$、 どこ$q=p/(p-1)$の共役Hölder指数を示します$1<p<\infty$そして、あなたの問題はそのシーケンスを証明することと同等であることに注意してください$\left\{g_{j}\right\}_{j=1}^{\infty}$弱く収束します$0$の$L^{q}([0,1])$。証明はさまざまな方法で実行できますが、最も簡単なのは、コンパクトにサポートされているという事実を使用することです。$L^{p}$-で機能します$(0,1)$密集している$L^{p}([0,1])$。これを確認するには、$f_{n}= 1_{[1/n, 1/(n+1)]}f$、 ために$f\in L^{p}([0,1])$優収束定理を使用して、$f_{n}\rightarrow f$の$L^{p}([0,1)]$。
この目的のために、$f$の任意の関数である$L^{p}([0,1])$と$\varepsilon >0$。密度によって、私たちは選ぶことができます$f_{\varepsilon}\in L^{p}([0,1])$コンパクトなサポート付き$(0,1)$、 そのような$\| f-f_{\varepsilon} \|_{p}< \varepsilon$、および大きな整数を選択します$N_{\varepsilon}>0$間隔が$[0,1/N_{\varepsilon}]$のサポートと交差しません$f_{\varepsilon}$。すでに観察したように、それを確認するのは簡単です$\| g_{j} \|_{q} \leq 1$、 すべてのために$j\geq 1$。さらに、それはすべてのために続く$j> N_{\varepsilon}$、 我々は持っています
$$\int_{0}^{1}f_{\varepsilon}g_{j}dx = 0. $$これを組み合わせてヘルダーの不等式を適用すると、次のようになります。
$$ \lvert \int_{0}^{1}fg_{j}dx \rvert = \lvert \int_{0}^{1}(f-f_{\varepsilon})g_{j} dx \rvert \leq \| f-f_{\varepsilon} \|_{p} < \varepsilon \qquad ,\, \forall j \geq N_{\varepsilon}. $$これは、望ましい主張を証明します。