密接に拡張された複素数の名前はありますか？
方法を検討する $\widehat{\mathbb R}$ に関し $\overline{\mathbb R}$。このセットはに関連します$\widehat{\mathbb C}$ 同様の方法で、 $\aleph_1$ それぞれ異なる角度の無限大は、複素平面をカプセル化する無限の半径を持つ円のようなものを形成します。
このようなセットは、次のように定義される可能性があります。 $$ \overline{\mathbb C}=\mathbb C \cup \left\{ x : (\exists \theta \in [0,2\pi)) \left[x=\lim_{r\to\infty} re^{i\theta} \right] \right\} $$
上記が厳密な定義であるかどうかはわかりませんが、それが意味を成しているように感じます。この構造を厳密に定義する方法はありますか？また、従来の名前が付いていますか？
私が話しているのではないことに注意してください $\widehat{\mathbb C}$、射影的拡張実線に似た無限大の単一点が含まれています。
回答
あなたが話していることは非常に似ていると思います $\Bbb RP^2$、実射影2空間。平面内の可能な「方向」ごとに無限遠点があります。
違いは $\Bbb RP^2$、角度のある線の無限遠点 $\theta$ 角度のある線の場合と同じです $\theta + \pi$。ですから、間違いなく、あなたが実際に得ているのは「クローズドユニットディスク」と呼ばれ、$\partial D$無限遠点に対応します。しかし、それはいくつかの基礎となるジオメトリなどを備えたディスクであり、標準の埋め込みのものではありません。
これは実際、スタンフォード大学のホルヘ・ストルフィによる博士論文でかなり注意深く研究されています。Oriented Projective Geometryと呼ばれ、IEEEから発行されたと思いますが、久しぶりなので最後の部分は定かではありません。とにかく、あなたのための確かなリファレンスがあります。アマゾンでのリンクは次のとおりです。https://www.amazon.com/Oriented-Projective-Geometry-Framework-Computations/dp/148324704X