もし $\int\limits_a^bf(x)dx=0$ すべての有理数に対して $a<b$、その後 $f(x)=0$ ae [重複]

Aug 16 2020

しましょう $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$統合可能な関数である。
それを示す$\int\limits_a^bf(x)dx=0$ すべての有理数に対して $a<b$、その後 $f(x)=0$ ほとんどどこでも。

ヒント:最初に証明する$\int\limits_Af=0$ ために $A$ 開集合、それから $A$ 測定可能。

私の試み: $A$ のオープンセット $\mathbb{R}$。その後、私たちは書くことができます$A=\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)$ どこ $\left\{(a_k,b_k)\right\}_{k=1}^{\infty}$有理エンドポイントを持つ開区間の互いに素なコレクションです(これは可能ですか?)

そう $\int\limits_Afdx=\int\limits_{\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)}fdx=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a_k}^{b_k}fdx=0$

次に、結果を測定可能にするためにどのように使用する必要がありますか $A$ さらに、そうした後、 $\int\limits_{\mathbb{R}}f=0$ 意味する $f=0$ae?
あなたの助けに感謝

回答

ratatuy Aug 16 2020 at 02:27

簡単だと思います。しましょう$A=\{x:f(x)\not=0\}$ $B=\{x:f(x)=0\}$

$\mu (D)$ セットの測度です $D$。私たちは知っています$\mu (A)=0$ そして $\mu (B)=b-a$。ルベーグ積分:$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{A} f(x)d\mu+\int_{B} f(x)d\mu=0$ なぜなら $\int_{A} f(x)d\mu=0$(なぜなら $f(x)=0$ ほとんどどこでも)そして $\int_{B} f(x)d\mu=0$

Keen-ameteur Aug 16 2020 at 02:46

コレクションを定義する古典的なトリックを行うことができます

$$ \mathcal{E}:=\{ A\in \mathcal{B}_\mathbb{R}: \int_A fdx=0 \}, $$

そしてそれを示す $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$。以来$f$ それ以外の場合は、最終的な望ましい結果が続きます。 $\pm \int_{B_\pm} fdx>0$ どこ $B_\pm=\{x\in\mathbb{R}: \pm f(x)>0\}$

後で確認できます $\mathcal{E}$$\sigma$-代数、だからあなたがそれを示すなら $A\in \mathcal{E}$ オープンセットの場合 $A$、それからそれはそれに続くでしょう $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$

最後に、合理的なエンドポイントを持つ間隔は、トポロジの可算基礎であるため $\mathbb{R}$、オープンの場合 $A\subseteq \mathbb{R}$ 有理エンドポイントを持つ区間のコレクションが存在します。 $\{ (a_k,b_k) \}_{k=1}^\infty$ そのような $A=\cup (a_k,b_k)$。DCTを使用すると、$\int_A f =0$