素イデアルにローカライズされたモジュールのローカル動作

Question

しましょう $R$ 可換環になり、 $p,q$ の2つの素イデアルになる $R$ と $q\subset p$。私たちは知っています$(R_p)_{qR_p}\cong R_q $リングとして。しましょう$M$ 豆 $R$-モジュール。それは本当ですか$(M_p)_{qR_p}\cong M_q$ なので $R_q$-モジュール？

Answer 1

与えられた $S^{-1}M \cong S^{-1}R\otimes_R M$ そして $(R_p)_{qR_p} \cong R_q$、 我々は持っています

$$(M_p)_{qR_p} \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} M_p \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} R_p \otimes_R M \cong R_q\otimes_R M \cong M_q$$

これは、望ましい同型を示しています。