MTRP2018からの実際の分析問題

Question

これは2018年のMTRP試験紙に出てきた質問です。試験の現場で解決することはできませんでしたが、後で家に帰ったときに、どういうわけかfが連続であることを証明できれば、Sが区間の場合、fには確かに不動点があると主張できます。しかし、Iamが直面している問題は、Sが有限集合であるということです。だから私はこれを解決するアイデアがありません。

ですから、誰かがこれを解決して説明するのを手伝ってくれるなら、大歓迎です。Iamは分析の学習の開始点にあるので、これについて漠然とした考えがありますが、厳密な証明はありません。

Answer 1

この主張は、事件のために真実ではありません $S = \emptyset$。

ただし、 $S$少なくとも1つの要素があり、この主張は真実です。要素数の帰納法で進めます。

場合 $S$ ちょうど1つの要素があり、この主張は自明のことです。

今それを仮定します $S$ 持っている $k + 1$要素。取る$a, b \in S$ st $a \neq b$。しましょう$\delta = \min\limits_{x, y \in S, x \neq y} |x - y|$。次に$\delta > 0$。

次に、シーケンスについて考えます。 $a_n = f^n(a)$ そして $b_n = f^n(b)$、 どこ $f^n$ 適用することを意味します $f$ $n$ 回。

わかります $|a_n - b_n| \leq \frac{1}{2^n} |a - b|$。

取る $n$ 十分に大きい $\frac{1}{2^n} |a - b| < \delta$。その場合、私たちは持っている必要があります$f^n(a) = f^n(b)$。

最小を取る $n$ st $f^n(a) = f^n(b)$。次に、$f^{n - 1}(a) \neq f^{n - 1}(b)$ だが $f^n(a) = f^n(b)$。次に$f$ 単射ではないため、全射ではありません。 $S$ 有限です。

取る $w \in S$ st $w \notin f(S)$。次に、セットを検討します$S' = S - \{w\}$。次に$f$ 機能に制限することができます $f : S' \to S'$、および $|S'| = |S| - 1 = (k + 1) - 1$。これは、帰納的仮説によって、いくつかがあることを意味します$x \in S' \subseteq S$ st $f(x) = x$。

編集：Kami Rama Murthyが指摘したように、シーケンスを検討する方が簡単です $s, f(s), f(f(s)), ...$ そしてそれを示す $|f^n(s) - f^{n + 1}(s)|$ 任意に小さくなり、したがって $\delta$; それからいくつかあります$n$ st $f^{n}(s) = f^{n + 1}(s)$。

Answer 2

しましょう $s \in S$、 $s_1=f(s),s_2=f(f(s)),...$。次に$|s_n-s_{n+1}| \leq \frac 1 {2^{n}}|s-s_1|$ 与えられた不等式を適用することによって $n$回。しかし、有限集合の点の間には最小の距離があります$S$ したがって、この不平等は $n$ 大きい場合のみ $s_n=s_{n+1}$。今取る$x=s_n$ 証明を終了します。

Answer 3

これは、バナッハの不動点定理の例として証明できます。より一般的な統計は次のとおりです。$S$ は完全な距離空間の閉じた部分空間であるため、完全な距離空間です。 $f$ は完全な距離空間の縮小であるため、前述の定理の場合 $f$ 不動点があります。

具体的には、次の手順で考えてください。任意を選択してください$s_1 \in S$、および定義 $s_{n+1} = f(s_n)$。距離の順序で考える$d_n = |s_{n+1} - s_n|$。我々は持っています$d_n=0$ 場合に限り $f(s_n)=s_{n+1}=s_n$、および $d_n$ しか存在しないため、有限数の値しか持つことができません $|S|^2$要素のペアのためのpoissblechoise。モーバー$d_{n+1} = |s_{n+2} - s_{n+1}| = |f(s_{n+1}) - f(s_n)| \le \frac{1}2|s_{n+1} -s_n| = d_n$ （等式は、不動点が見つかった場合にのみ成立します）、したがって $d_n$減少しています。有限の可能な値のセットの間で減少するシーケンスは、ここでのみ可能である最小値に近づきます$0$。