nカテゴリの定義

Oct 24 2020

もしあれば、の標準的な定義は何ですか $n$-2020年現在のカテゴリ？私が利用できる文献はかなり限られていますが、私はこれまでに持っていたものをリストするために最善を尽くします。

[Lei2001]で、Leinsterは10の異なる定義を示しました。 $n$-カテゴリ、およびそれらが同等であるかどうかについてのコメントはありませんでした。[BSP2011]で、著者は公理を設定し、すべての（多くの？）定義が$(\infty,n)$-これまでのカテゴリはそれらの公理を満たしているため、同等です（何らかのアクションまで）。完全を期すために、これらの定義をここに含めます。

（a）チャールズ・レズクの完全なシーガルΘn空間、
（b）n倍の完全なシーガルスペース、
（c）AndréHirschowitzおよびSimpsonのSegal n-categories、
（d）クラーク・バーウィックとダン・カンのn相対カテゴリー、
（e）基礎となるホモトピー論が（∞、n）-圏のホモトピー論である内部モデル圏で強化された圏、
（f）n = 1の場合、BoardmanおよびVogtの準カテゴリ、
（g）n = 1の場合、Lurieのマークされた複体セット、および
（h）n = 2の場合、Lurieのスケーリングされた複体セット、

ただし、[Lei2001]のすべてのケースが網羅されているわけではなく、ここにはさらに多くのケースがあります。定義することの決定的な違いは何ですか$n$-カテゴリと $(\infty,n)$-カテゴリー？

質問

要するに、より高いカテゴリーには多くの定義があります。では、どれを使用する必要がありますか？行われたすべての定義のリストと、どの意味でどの定義に相当するかについての議論はありますか？どの定義が3つの仮説を満たすかについての議論もありますか

安定化仮説
もつれ仮説
コボルディズム仮説

[BD1995]で仮定されていますか？

参照

[Lei2001]：n-Categoryの定義の調査-[Tom Leinster]-[arXiv：math--0107188]
[BSP2011]：高次圏論のホモトピー論の統一について-[Clark Barwick and Christopher Schommer-Pries]-[arXiv：1112.040]
[BD1995]：高次元代数と位相的場の量子論-[John C. Baez and James Dolan]-[arXiv：q-alg--9503002]

回答

17 DavidWhite Oct 24 2020 at 22:25

まず第一に、厳格な概念の間には重要な違いがあります $n$-カテゴリ、弱い $n$-カテゴリ、および $(\infty,n)$-カテゴリー。最も簡単な概念は、厳密な概念です$n$-カテゴリ、そしてそこの定義に疑いはありません：厳密な$0$-カテゴリはセットであり、誘導により厳密 $n$-カテゴリは、次のカテゴリで強化されたカテゴリです。 $(n-1)$-カテゴリ。

弱者の概念の初期モデルを紹介したバエズとドランの論文を引用したのは良いことです $n$-カテゴリー。1995年から2001年の間に、他のモデルが急増しました。道徳的に、それらは弱いカテゴリーで弱く濃縮されたカテゴリーでなければなりません$(n-1)$-カテゴリですが、より高い細胞とそれらがどのように結合するかを追跡する方法はたくさんあるため、弱い濃縮を定義する方法はたくさんあります。2004年には、全員を集めてモデル間の共通点を理解しようとする会議がありました。これは他のモデルと同等でした。「標準」モデルとして登場することにはならなかったし、近いうちにそうなるとは思わないだろう。しかし、今では弱いモデルが$n$-カテゴリは大きく2つのキャンプに分類されます。ウィキペディアはそれをうまく言っています：

基本的に2つのクラスの理論があります：より高いセルとより高い組成が代数的に実現される理論（最も顕著にマイケルバタニンの弱いより高いカテゴリーの理論）とより多くのトポロジーモデルが使用される理論（例えば、より高いカテゴリーを満足する単純なセットとしてより高いカテゴリー）いくつかの普遍性）。

ウィキペディアはまた、「いくつかの定義が与えられており、それらがいつ同等であるか、そしてどのような意味で、圏論の新しい研究対象になっているのかを示しています」と述べています。これは、現在の分野についての私の理解と一致しています。高次圏論は、弱者のための多くのモデルについての質問に興味があると思います$n$-カテゴリ。それはの研究とは異なります$(\infty,n)$-ホモトピー論に位置するカテゴリー。

さて、他の人がやって来て「$(\infty,n)$-カテゴリは正しいことです」というのは、MathOverflowは高次圏論者よりもホモトピー理論家の表現が多いためです。ここでも、誰が書いたかに基づいて、nLabを読んでも同じ感覚が得られるかもしれません。しかし、オーストラリアのシドニーに遊びに行くと、高次圏論が健在であるところでは、人々が言うのを聞くことはありません $(\infty,n)$-カテゴリは「正しい」モデルであるか、ユニシティ定理が $(\infty,n)$-カテゴリは、弱いモデルのモデルを特定するという2004年からの問題を解決します $n$-カテゴリは同等です。

弱者のさまざまなモデルにおいて、安定化仮説、もつれ仮説、およびコボルディズム仮説に関連する進行中の作業もたくさんあります。 $n$-カテゴリ。たとえば、バタニンは最近、に基づいてRezkのモデルの安定化仮説を証明しました$\Theta_n$-スペース。それからバタニンと私は弱いの定義のクラス全体に当てはまる別の証拠を与えました$n$-Rezkのモデルを含むカテゴリ。1998年にさかのぼると、カルロスシンプソンは、タムサマニの弱いnカテゴリの定義に対する安定化仮説を証明しました。GepnerとHaugsengは、$(\infty,n)$-HaugsengのPhD論文を使用して取得するカテゴリと弱い濃縮のタイプ（濃縮について $\infty$-カテゴリ）。もちろん、有名なことに、ルリーはコボルディズム仮説を証明するために何千ページも書いています$(\infty,n)$-カテゴリ、およびAyalaとFrancisは、因数分解の相同性を使用してより短い証明を与えました。

私が見逃した文献はたくさんあると確信しており、「はい、弱いモデルを研究することはまだ価値があります。 $n$-勉強するだけでなく、カテゴリー $(\infty,n)$-カテゴリ。」しかし、あなたは参照を求めたので、ここにあなたが始めるための束があります。