なぜこの多変数制限が存在する必要があるのですか？

Question

制限を考慮する $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{tan^{-1}(xy)}{xy}$$

制限が存在しない理由についての私の議論：それはパスに沿って存在しません $y=0$。または、別の見方では、$\frac{tan^{-1}(xy)}{xy}$ の任意の近傍の無限遠点では未定義です $(0,0)$。

しかし、このような多くの質問では、上記の推論は無視され、他の手法で進めます。（このように：2つの変数を持つ微積分の正弦限界[多変数-微積分]）しかし、それはどのように有効ですか？与えられた点の周りの非常に多くの点で関数が定義されていない状態で制限が存在する可能性はありますか？

Answer 1

制限の定義は次のとおりです。

しましょう $X,Y$ 距離空間であり、 $E\subseteq X$、 $f:X\to Y$ 関数になり、そして $a$ の限界点になる $E$。機能と言います$f$ に制限があります $a$ （宇宙で $Y$）次の条件が満たされている場合：

• が存在します $l\in Y$ そのようなすべてのために $\epsilon>0$、が存在します $\delta>0$ すべての人のために $x\in E$、もし $0 <d_X(x,a)< \delta$ その後 $d_Y(f(x), l) < \epsilon$。

この場合、私たちは証明することができます $l$ ユニークで私たちは書く $\lim\limits_{x\to a}f(x) = l$

この制限の定式化では、関数が $f$ スペース全体で定義する必要はありません $X$。特定のサブセットでのみ定義する必要があります$E$ （それは非常に可能性が高いです $X\setminus E$は無限集合ですが、これは問題ではありません）。さらにポイントは、$a$、制限を計算している場所は、の要素である必要はありません。 $E$; 必要なのは$a$ の限界点になる $E$。

あなたの場合、私たちは $X=\Bbb{R}^2, Y= \Bbb{R}$ （両方とも通常のユークリッド距離で）そして $E = \{(x,y)\in\Bbb{R}^2| \, xy \neq 0\}$。この場合、次のように定義します。$f:E\to Y= \Bbb{R}$ 沿って $f(x,y) = \frac{\arctan(xy)}{xy}$、そしてポイント $(0,0)$ 確かにセットの限界点です $E$。したがって、私たちは確かに限界を計算しようとすることができます（そしてこの場合、限界は存在し、等しい$1$...それについてさらに詳しく説明する必要がある場合はお知らせください）