に任意のベクトルと正規直交セットがあることを示します $V$、st $A\in\mathcal L(V)$ 与えられた方法で定義することができます。

Question

しましょう $V$ 有限次元のユニタリ空間になり、 $A\in\mathcal L(V)$ st $\operatorname{rank}(A)=k>0$。正規直交セットが存在することを示す$\left\{e_1,e_2,\ldots,e_k\right\}$ およびベクトル $f_1,f_2,\ldots,f_k\in V$ st $$Ax=\sum_{i=1}^k\langle x, f_i\rangle e_i,\ \forall x\in V$$

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私の考え：

定義により、 $\operatorname{rank}(A)=\dim\mathscr Im(A)=k>0$。

私たちがいくつか取る場合 $x\in\mathscr Im(A)$、その後 $Ax=\sum\limits_{i=k}^k\alpha_i e_i\ne0,\ \alpha_i\in\Bbb F$、そして私たちがそれを心に留めていれば $\left\{e_1,e_2,\ldots,e_k\right\}$ は正規直交セットであり、 $\left\{e_1,e_2,\ldots,e_k\right\}$ の正規直交基底である可能性があります $\mathscr Im (A)$、 そう $$\mathscr Im(A)=\operatorname{span}\left\{e_1,e_2,\ldots,e_k\right\}.$$

正規直交セット $\left\{e_1,e_2,\ldots,e_k\right\}$ 正規直交基底に拡張できます $\left\{e_1,e_2,\ldots,e_k,e_{k+1},\ldots,e_n\right\}$ 全体のために $V$。

考えれば $e_j\in\mathscr Im(A),\ \forall j\in\{1,\ldots,k\}$、つまり$Ae_j=\sum\limits_{i=1}^k\left\langle e_j,f_i\right\rangle e_i\ne0$、私は思った $A$ ブロック行列で表すことができます $$[A]_e^e=\begin{bmatrix}E&0\\0&0\end{bmatrix}, E\in M_k(\Bbb F),$$ しかし、私は何も証明していないと思います。

私が確信している唯一のことはそれです $A$ 確かに、線形です。なぜなら、 $$\begin{aligned}A(\lambda x+\mu y)&=\sum_{i=1}^k\langle \lambda x+\mu y,f_i\rangle e_i\\&=\sum_{i=1}^k\left(\langle \lambda x, f_i\rangle e_i+\langle \mu y,f_i\rangle e_i\right)\\&=\sum_{i=1}^k\lambda\langle x,f_i\rangle e_i+\sum_{i=1}^k\mu\langle y,f_i\rangle e_i\\&=\lambda\sum_{i=1}^k\langle x,f_i\rangle e_i+\mu\sum_{i=1}^k\langle y,f_i\rangle e_i\\&=\lambda Ax+\mu Ay\end{aligned}$$

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この課題を解決する方法についてアドバイスをお願いできますか？

前もって感謝します！

Answer 1

しましょう $\{e_1,...,e_k\}$ の正規直交基底である $\mathscr Im(A).$ 場合 $x \in V$、その後 $Ax \in \mathscr Im(A).$ したがって、 $s_1,...,s_k \in \mathbb F$、 そのような

$$Ax= \sum_{j=1}^k s_j e_j.$$

次に、 $<Ax,e_j> = s_j.$ したがって、 $<x, A^*e_j>=s_j.$

$f_j:=A^*e_j, \quad j=1,...k$ 仕事をします。