の限界 $\lim\limits_{x \to \infty} (1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x))^x$
質問:制限$\lim\limits_{n \to \infty} (1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x))^x$
私が最初に気付くのは: $\lim\limits_{x \to \infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}$ 限界は何かの形に見えます $(1 + \frac{1}{x})^x$。残念ながら、これらのアイデアを適用して限界を解決することはできないようです。それが正しいかどうかはわかりません:
$$\ln(y) = \lim\limits_{x \to \infty} x \ln(1 + \frac{\pi}{2} - \arctan(x)) = \lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln(1+\frac{\pi}{2}- \arctan(x))}{\frac{1}{x}}$$
ロピタルの定理を適用する...?
誰かがこのアプローチが正しいことを確認できますか、または間違っている場合は正しいアプローチを提供しますか?
回答
以来 $\frac{\pi}{2} - \arctan(x) =\arctan \left(\frac1x\right)\to 0$ 私たちはそれを使うことができます
$$\left(1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x)\right)^x=\left[\left(1+ \arctan\left(\frac1x\right)\right)^{\frac{1}{\arctan\left(\frac1x\right)}}\right]^{x\arctan\left(\frac1x\right)}$$
次に、標準の制限を参照してください。
または別の方法として、あなたのアイデアに従って
$$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln(1+\frac{\pi}{2}- \arctan(x))}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln\left(1+\arctan \left(\frac1x\right)\right)}{\arctan \left(\frac1x\right)}\,\frac{\arctan \left(\frac1x\right)}{\frac1x}$$
そして、標準的な制限によって再び結論を下します。
$$A=\left(1+ \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(x)\right)^x=\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)^x$$
$$\log(A)=x \log\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)$$
テイラー $$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{3 x^3}+O\left(\frac{1}{x^5}\right)$$ $$\log\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^2}+\frac{1}{12 x^4}+O\left(\frac{1}{x^5}\right)$$ $$\log(A)=1-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{12 x^3}+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$ $$A=e^{\log(A)}=e \left(1-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{8 x^2}+\frac{1}{16 x^3} \right)+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$
編集
検討する $x=\frac {11}{24}\pi$ (これはかなり遠いです $\infty$)アークタンジェントが $\left(1+\sqrt{2}\right) \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$。
正確な値は $1.97993$ この切り捨てられた式は $1.99516$。
実際、相対誤差は $0.01$%if $x\geq3$