の合計はできます $n$ 正方形は、の合計として表されます $n/2$ 正方形?
正方形がピタゴラストリプルである特別な場合の答えはイエスです。ピタゴラストリプルは最低の場合です$n$、すなわち $2$。2つのピタゴラストリプルを組み合わせて、$4$ のような正方形 $(3^2 + 4^2) + (5^2 + 12^2) = 5^2 + 13^2$。ピタゴラストリプルを組み合わせる(追加する)と、任意の二乗和を作ることができます$n$。
質問:関係する正方形のペアがピタゴラストリプルではない場合、またはすべてのペアがピタゴラスではない場合、一般的なケースではどうなりますか?
回答
答えは(偶数)はいです$n \geq 8$(偶数)はありません$n \leq 7$。
場合 $n \geq 8$ その後、あなたの合計 $n$正方形は、ラグランジュの4平方定理による4つの正方形の合計です。さて、$n/2$ が4より大きい場合、次の値に等しい十分な項を追加することで合計を完成させることができます。 $0^2$。
ために $4 \leq n \leq 7$ ご了承ください $7$ の合計として書くことができます $n$ 正方形ですが、の合計として書くことはできません $n/2$ 正方形。
ために $2 \leq n \leq 3$ ご了承ください $5$ の合計です $n$ 正方形ですが、の合計ではありません $n/2$ 正方形。
ラグランジュの4平方定理から、すべての自然数は4つの完全な平方の合計として表すことができます。いつでも追加できるので$0^2$ 合計を変更せずに、これはすべての自然数がの合計として書くことができることを意味します $n$ 任意の正方形 $n\geq4$。
あなたの問題はそれが与えられているかどうかを尋ねます $M$ の合計です $n$ 正方形、それはの合計として書くことができます $\frac{n}{2}$正方形。これはそれを必要とするので$n$ 均等に、4つのケースがあります。
ケース1: $n=2$
この場合、 $M$ は2つの正方形の合計であり、ピタゴラストリプルがある場合は1つの正方形の合計のみです。
ケース2: $n=4$
この場合、 $M$任意の自然数にすることができます。質問は、一般的な自然数が2平方の合計として記述できるかどうかを尋ねます。この質問への答えは、オイラーの功績による2平方定理の和から来ており、素因数分解に合同な素数が含まれていない場合に限り、2平方の和として数値を記述できると述べています。$-1\mod4$ 奇数の累乗。
ケース3: $n=6$
この場合、Mは任意の自然数にすることができます。質問は、一般的な自然数が3つの平方の合計として記述できるかどうかを尋ねます。Legendreの3平方定理から、答えは、すべてではありませんが、ほとんどの自然数が3つの平方の合計として記述できるということです。具体的には、に現れるものを除くすべての自然数https://oeis.org/A004215 3つの正方形の合計として書くことができます
ケース4: $n\geq8$
この場合、すべての自然数はの合計として書くことができます $\frac{n}{2}$ 四角なので、答えは簡単にイエスです。
ケース3と4については、選択するのに十分な余裕があります $n$ ピタゴラストリプルを含まない分割を選択できる正方形
質問を正しく理解しているかどうかはわかりません。これが実際の意味である場合、反例を思いつくのはそれほど難しくないからです。
私の解釈:与えられたコレクション $n$ 正の整数、 $\{ a_1, ..., a_n \}$、のコレクションを見つけることが可能です $n/2$ 正の整数、たとえば、 $\{ b_1, ... , b_{n/2} \}$ そのような $$ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^2 = \sum_{i=1}^{n/2} {b_i}^2 $$。
これが実際の意味である場合は、最初に検討してください $n$奇数の整数になり、完了です。なぜなら$n/2$ は整数ではありませんが、ステートメントは明らかに誤りです。
今、仮定します $n$均等にすることだけが許可されています。考えて、言う$n = 2$ そして $a_i = 1$ 両方のための $i=1,2$。 $\sum {a_i}^2 = 1^2 +1^2 = 2$、完全な正方形ではないため、ステートメントの反例です。
任意の2つのピタゴラストリプルは、4つの正方形の合計または2つの正方形の合計として表すことができます。
例: $\qquad(15^2+8^2)+(21^2+20^2)=17^2+29^2$
または、この回答の最初のバージョンで示した例から: $$157^2+12324^2=6493^2+10476^4=10147^2+6996^2=12317^2+444^2=12325^2$$ $\implies(157^2+12324^2)+(6493^2+10476^4)+(10147^2+6996^2)+(12317^2+444^2)\\\qquad\qquad\qquad=(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)$
どこ $8$ 二乗和は次のように表されます。 $4$。私はの例を挙げました$4$ 値は等しいが、任意の組み合わせの任意の数 $C$-値はその数の半分に減らすことができます。
別の例はここにあります $10$ 二乗和はに等しい $5$ 合計 $\qquad\qquad (3^2+4^2)+(5^2+12^2)+(13^2+84^2)+(85^2+132^2)+(157^2+12324^2)\\ \qquad\qquad=5^2+13^2+85^2+157^2+12325^2$
最後の質問ですが、正方形が必要ない場合は、無限の解決策もあります。 $$(12+13)+(168+1)=5^2+13^2$$ または $$(1^2+2^2)+(4^2+5^2)=(5+41)$$