の逆ラプラス変換を見つける $\frac{s}{(s+1)^3}$ 反転式を使用する
の逆ラプラス変換を見つける必要があります $$F(s) = \frac{s}{(s+1)^3}$$BromwichIntegralを使用します。ブロムウィッチ輪郭は次のようになりますこれを。
実際には、次のリンクでこの問題を確認できます。 https://youtu.be/cXjbPsc-Z5w。知りたいのですが、なぜ積分を表示する必要があるのですか？$L_u$、 $C_R$、 $L_D$ です $0$？つまり、いくつかの本（物理学者のための数学的方法、第3版など）で多くの例を見てきました。ラプラス変換の反転を解くために、単純な極で留数を表示する必要があるだけです。
したがって、この場合は次のようになります。
$$\begin{align} \mathcal{L}\bigg\{\frac{s}{(s+1)^3}\bigg\} &= \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} \frac{se^{st}}{(s+1)^3} \Bbb ds \\ &= \mathrm{Res}_{s=-1} \left(\frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right) \\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} \frac{\Bbb d^2}{\Bbb ds^2} \left[(s+1)^3 \frac{se^{st}}{(s+1)^3}\right]\\ &= \frac 12 \lim_{s=-1} te^{st}(2+st)\\ &= te^{-t} \left(1-\frac t2\right) \end{align}$$
なぜ積分を示す必要があるのか説明できますか $L_u$、 $C_R$、 $L_D$ です $0$ （与えられたリンクに基づく）留数定理が積分を評価しての逆ラプラス変換を見つけるのに十分である場合 $F(s)$？
あなたが私に説明できることを願っています。私はこれについてもっと知りたいのですが、それでもこの質問に関しては混乱しています。どうもありがとう！
回答
残留定理の拡張であるコーシーの積分定理。両方の定理は、の単連結領域内の修正可能な閉曲線から始まります。$\mathbb{C}$。
の逆ラプラス変換 $F(s)$、 $f(t)=\mathscr{L}^{-1}\{F\}(t)$、で表されます
$$f(t)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(s) e^{st}\,ds\tag1$$
どこ $c$ のすべての特異点よりも大きい実数です $F(s)$。
留数定理を適用するために、次の積分を評価します。 $F(s)e^{st}$閉じた修正可能な曲線上。それで、私たちは分析を始めて書きます
$$\begin{align} \oint_C F(s)e^{st}\,ds&=\oint_{L_R+L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\\\\ &=\int_{L_R}F(s)e^{st\,ds}+\int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st\,ds}\tag2 \end{align}$$
OPの特定の質問を考えると、ここでは、の唯一の特異点が $F(s)$極の特異点です。場合$F(s)$ 分岐点の特異点がある場合、分岐点と対応する分岐カットが閉じた輪郭内から除外されるように、Bromwichパスを閉じます。
すべての $N$ の極の数 $F(s)$ 閉じた輪郭の内側にあります $C$ との場所を示します $n$'番目の極 $s_n$、 どこ $n=1,2\cdots N$。次に、留数定理から、
$$\oint_{C}F(s)e^{st}\,ds=2\pi i \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s)e^{st}, s=s_n\right)\tag3$$
また、 $R\to \infty$、の右側の最初の積分 $(2)$ アプローチ $2\pi i f(t)$ で表現されるように $(1)$。だから、積分が$L_u+C_R+L_d$ として消える $R\to \infty$、次に同等化から $(2)$ そして $(3)$、私たちはそれを見つけます
$$f(t) = \sum_{n=1}^N \text{Res}\left(F(s), s=s_n\right)\tag4$$
注：の式$(4)$ の仮定に基づいていた
$$\lim_{R\to \infty} \int_{L_u+C_R+L_d}F(s)e^{st}\,ds=0\tag5$$
場合 $(5)$ 保持に失敗し、その後 $(4)$ 同様に保持することができません。