の観点から積分に向けられた均一 $\left\lVert f' \right\rVert_4^4$

Question

定数があることを示す $C>0$ コンパクトにサポートされている $C^1$ 関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$、 我々は持っています $$\int_{\mathbb{R}} \left(\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right)^4dy \le C \left\lVert f' \right\rVert_4^4\qquad\text{for all }x \in \mathbb{R}.$$

これは私がどうしたらいいかわからない古いクォールの問題です。ヒントの1つは、部分積分を使用できるということですが、ヒントの適用方法もわかりません。どんなアプローチでも大歓迎です。

Answer 1

これは多かれ少なかれここでの議論のコピーであり、部分積分よりもはるかに難しいようです：微積分の基本定理とコーシーシュワルツの不等式（2回）を使用して、

\begin{align} (f(y) - f(x))^4 &= \left( \int_x^y f'(t) dt\right)^4\\ &\le \left( \int_x^y |f'(t)|^2 dt\right)^2 \left( \int_x^y 1^2 dt\right)^2 \\ \Rightarrow \left( \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \right)^4 &\le \left( \frac{1}{y-x} \int_x^y |f'(t)|^2 dt\right)^2 \\ &= \frac{1}{(y-x)^2} \left(\int_x^y (t-x)^{-1/4} (t-x)^{1/4} |f'(t)|^2 dt\right)^2 \\ &\le \frac{1}{(y-x)^2} \left| \int_x^y (|t-x|^{-1/2} dt \right|\cdot \int_x^y |t-x|^{1/2} |f'(t)|^4 dt \\ &= \frac{2}{|y-x|^{3/2}}\int_x^y |t-x|^{1/2} |f'(t)|^4 dt. \end{align} に関して統合する $y$ フビニを使って、
\begin{align} \int_{x}^\infty \left( \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \right)^4dy &\le \int_x^\infty \frac{2}{|y-x|^{3/2}}\int_x^y |t-x|^{1/2} |f'(t)|^4 dt dy \\ &= 2 \int_x^\infty \left( \int_t^{\infty} \frac{1}{|y-x|^{3/2}} dy\right) |t-x|^{1/2} |f'(t)|^4 dt \\ &= 4 \int_x^\infty |t-x|^{-1/2} |t-x|^{1/2} |f'(t)|^4 dt = 4\int_x^\infty|f'(t)|^4 dt. \end{align}

同様に $$ \int_{-\infty}^x \left( \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \right)^4 dy\le 4 \int_{-\infty}^x |f'(t)|^4 dt.$$

したがって、 $$ \int_{\mathbb R} \left( \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \right)^4 dy \le 4\| f'\|_4^4.$$

Answer 2

ハーディの不等式に関するウィキペディアの記事によってもたらされたもう1つの証拠があります。

書く $\frac{f(y)-f(x)}{y-x} = \frac1{y-x}\int_x^yf'(u)du = \int_0^1 f'(x+(y-x)v)dv. $

さあ、 $p>1$。ミンコフスキーの不等式によってあなたはそれを持っています$$\bigg[\int_{\Bbb R} \bigg| \int_0^1 f'(x+(y-x)v)dv\bigg|^p dy \bigg]^{1/p}$$

$$\leq \int_0^1 \bigg[\int_{\Bbb R} |f'(x+(y-x)v)|^pdy\bigg]^{1/p}dv.$$

次に、内部積分について、変数を変更します $z:=vy+(x-vx)$ あなたはそれを見る $dy = v^{-1}dz$。したがって、最後の式は$$\int_0^1 v^{-1/p} \|f'\|_p dv = \frac{p}{p-1}\|f'\|_p.$$