の継続性の証明 $\sqrt{x}$ -私の間違いはどこですか？

Question

私はそれを証明しようとしています $f(x) = \sqrt{x}$ 継続している $[0, \infty)$。これが私がこれまでに得たものです：

検討する $x_0 \in [0,\infty)$ $$|f(x) - f(x_0)| = |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}|$$

その量に正の数を掛けましょう $|\sqrt{x}+\sqrt{x_0}|$。次に、$$ \begin{align} |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &< |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}||\sqrt{x} + \sqrt{x_0}|\\ |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &< |x-x_0| < \delta \end{align} $$

選びましょう $\delta=\epsilon$。今、私たちは持っています$$ \begin{align} |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &<\delta \\ |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &<\epsilon \\ |f(x) - f(x_0)| & < \epsilon \end{align} $$ いつ $|x-x_0|<\delta$。あなたが私に尋ねれば証明されているようですが、私が読んだことから、の連続率$\sqrt{x}$ です $\delta(\epsilon)=\epsilon^2$。これは私がどこかで間違いを犯したと結論することを余儀なくされます、しかし私はそれを見つけることができません。（私はそれがいくつかのばかげた詳細だと思います）

前もって感謝します！

Answer 1

ヒント：

$$|\sqrt x-\sqrt{x_0}|=\frac{|x-x_0|}{\sqrt x+\sqrt{x_0}}<\frac\delta{\sqrt x+\sqrt{x_0}}$$

あなたが知っています $\;\sqrt x\ge 0\;$ すべてのために $\;x\in[0,\infty)\;$ 、 そう $\;\sqrt x+\sqrt{x_0}\ge\sqrt{x_0}\;$ ..。