の固有値 $A^{2018}$

Question

の固有値と固有ベクトルを見つける $A^{2018}$。 $$ A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 3 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix} $$

---

私の解決策：

まず、最初の行に2番目の行から3を掛けると、次のようになります。 $$ A\approx \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & -8 & -8\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix} $$

上三角行列を達成したので、特性多項式は次のようになります。 $$ \chi_{A^{2018}}(\lambda)=det (\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & -8 & -8\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix}^{2018}-\lambda I)=(1^{2018}-\lambda)((-8)^{2018}-\lambda)(4^{2018}-\lambda) $$

したがって、eigevaluesのセットは $\{1,4^{2018},8^{2018},\}$。

---

これが正しい解決策であるかどうかを確認してください。そうでない場合は、正しい解決策を見つけるのを手伝ってください。

Answer 1

あなたの行列は、比較的簡単なもの（対称）と冪零行列の合計であり、これらは通勤します。 $N$ のペアを除いてゼロです $4$ 位置に $(1,3)$ そして $(2,3).$ 対称的なものを呼び出す $S$これはうまく対角化することができます。彼らは通勤しているので、$$ (S + N)^{2018} = S^{2018} + 2018 S^{2017} N. $$ それ以来そこで止まります $N^2 = 0.$

私はこれを推測しました、必要なのは明示的です $P^{-1} S P = D.$ それは本当に必要ではありません $P$直交する。実際、私がしていることは

$$ P^T S P = D $$ $$\left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt 2} & -\frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) $$

どこ $PP^T = P^TP = I$

$ P^T S P = D $ そのため $S = PDP^T.$ したがって、 $S^{n} = P D^n P^T$ すべてのために $n \geq 1$

インクルード $S+N$はジョルダンシュヴァレー分解と呼ばれ、ジョルダン標準形よりもはるかに簡単な場合があります。今回は大差ありません

Answer 2

ヒント：特性多項式は $c_A(x)=(x-4)((x-1)^2-9)=(x-4)^2(x+2)$。

ジョルダン標準形が $B=\begin{pmatrix} 4&1&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{pmatrix}$。

次に $A^n$ と類似しています $B^n$。

だが $B^n=\begin{pmatrix}4^n&4+2\cdot4^n&0\\0&4^n&0\\0&0&(-2)^n\end{pmatrix}$。

したがって、 $\{4^n,(-2)^n\}$ 固有値として。