のランクを示す $\phi$ そして $\psi$ のランクに等しい $\langle\cdot,\cdot\rangle$、それぞれ $f$
しましょう $V$ フィールド上のベクトル空間である $K$ そしてしましょう $V^*$ の双対空間である $V$。すべての双線形形式に対して$\langle\cdot,\cdot\rangle$ オン $V$線形写像を定義します\ begin {equation} L _ {\ langle \、\ cdot、\ cdot \、\ rangle}：V \ rightarrow V ^ *：v \ mapsto \ langle \ cdot、v \ rangle \ end {equation}
B（V）を上のすべての双線形形式の集合とします。 $V$関数\ begin {equation} \ phi：B（V）\ rightarrow \ operatorname {Hom} _K（V、V ^ *）：\ langle \ cdot、\ cdot \ rangle \ mapsto L _ {\ langle \ cdot、 \ cdot \ rangle} \ end {equation}
\ begin {equation} \ psi：\ operatorname {Hom} _K（V、V ^ *）\ rightarrow B（V）：f \ mapsto \ langle \ cdot、\ cdot \ rangle_f \ end {equation}
私はすでにそれを示しました $\phi$ そして $\psi$ したがって、お互いの逆数は全単射です。
私は次の質問で立ち往生しています：「 $\phi$ そして $\psi$ のランクに等しい $\langle\cdot,\cdot\rangle$、それぞれ $f$、 $\dim V = n < \infty$。」
双線形形式のランクを知っています $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 双線形形式のグラム行列のランクに等しい $\langle\cdot,\cdot\rangle$、しかし私はそれ以上得ることができませんでした。
前もって感謝します！
回答
おそらくこれは、任意の双線形形式に対して $g\in B(V)$ 地図 $\phi(g)$ のランクと同じランク（マップとして）を持っています $g$（フォームとして）; そしてそれはどんな地図でも$l\in Hom(V, V^*)$ のランク $\psi(l)$ フォームはのランクと同じです $l$。
この段落は動機です。なじみのない用語が嫌いな場合は無視してください。 $\phi$ そして $\psi$ は互いに逆であるため、それぞれがランクを上げていないことを示すだけで十分です（それ以降、構成が同一である唯一の方法は、それぞれがランクを保持している場合です）。
今、仮定します $g$ ヌルスペースがあります $W$（双線形形式として）。それを確認してください$\phi(g)$ に制限されています $W$はゼロです。そう$rk(\phi(g))\leq rk(g)$。
同様に、 $l$ ヌルスペースがあります $U$ （マップとして）次に、それを確認します $\psi(l)$ 持っている $U$（形式の）ヌルスペースの一部として。そう$rk(\psi(l))\leq rk(l)$。
上記の2つの不等式とその事実を組み合わせる $\psi\cdot \phi =Id$ 私たちは $g$：
$$rk(g)=rk(\psi(\phi g))\leq rk(\phi(g))\leq rk (g).$$
したがって、すべての不平等は平等であり、特に $rk(\phi(g))= rk (g)$。同様の議論は示しています$rk (\psi(l))=rk (l)$ すべてのために $l$。