のサブグループを検索 $S_5$ クォータニオンと同型 $Q$ [複製]
私は抽象代数のコースからこの問題を解決しようとしています：
のサブグループを見つける $S_5$ （位数5の対称群）四元数群と同型 $Q$。
私はの要素を書き始めました $Q$ いくつかの例を試し始め、クォータニオンのプロパティが検証されているかどうかを確認します。 $$Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm j\}.$$ 明らかに要素 $1$ です $(1)(2)(3)(4)(5)$ に $S_5$。
それから私は試してみました： $$i=(1234)(5)\ \ , \ \ -i=(1432)(5).$$
どちらも注文があることを確認します $5$、そしてそれらから私は得る $-1=(13)(24)(5)$。良い要素が見つからないので間違った要素を選んだと思うので、今は行き詰まっています$\pm j$ そして $\pm k$。特定のグループと同型のサブグループを見つけるように求められる場合に、この種の問題を実行する最も簡単な方法は何ですか？
どんな助けでもありがたいです。
回答
これは不可能です。の最小の忠実な順列アクション$Q_8$通常のものです。つまり、を含む最小の対称群$Q_8$ サブグループとしては $S_8$。
これを確認するには、サブグループがあるかどうかに注意してください $H\subseteq S_n$ 同型 $Q_8$、その後 $X=\{1,\cdots,n\}$ からの群作用を運ぶ $H$。軌道安定化定理によれば、このアクションが推移的である場合、剰余類空間でのアクションと同等でなければなりません。$H/K$、これは $Q_8$ に作用する $Q_8/N$ 一部のサブグループの場合 $N\le Q_8$。しかし、のすべてのサブグループ$Q_8$ 検査によると正常であるため、カーネルがない限り、このようなグループアクションは不誠実です。 $N$些細なことです。場合$X$ 推移的ではない場合、それは非規則的な軌道の結合ですが、すべての適切なサブグループが $Q_8$ 中央の要素が含まれています $-1$、私たちは知っています $-1$ このアクションの核心にある必要があるので、やはり忠実ではありません。
または、 $2$-シローのサブグループ $S_n$ と比較します $Q_8$。結局のところ、$S_n$ の同型コピーが含まれていました $Q_8$、それからそれはに含まれている必要があります $2$-少なくともサイズのシロー $2^3$。にとって$n=4$ したがって、 $n=5$ インクルード $2$-Sylowは二面体群です $D_8$ 注文の $2^3$ これは同型ではありません $Q_8$。確かに$n=6$ したがって、 $n=7$ インクルード $2$-シローは $D_8\times C_2$ （に含まれた $S_4\times S_2$）のコピーを生成する非通勤対合のペアがない $Q_8$。
したがって、 $S_8$ を含む最小の対称群です $Q_8$ （これは、ケーリーの定理で使用されているように、左の通常のアクションによって提供される順列表現です）。