のすべての要素は $\mathbb{R}$ のメンバー $\mathbb{Q}$ その超越的基盤の有限の数のメンバーと隣接していますか？

Question

最近、私は、超越次数の概念を使用して、問題に対するやや非構成的な解決策を作成することに興味を持っています。$\mathbb{R}$ 以上 $\mathbb{Q}$、これは選択公理を前提として存在しますが、私はいくつかの基本的な場の理論しか知りません。私の理解を深める一環として、私は尋ねます：

しましょう $W$ の超越の基礎となる $\mathbb{R}$ 以上 $\mathbb{Q}$。それは本当ですか$$\mathbb{R} = \bigcup_{w\subset W, \;w \text{ finite}}\mathbb{Q}(w)$$？「有限」を「可算」に置き換えるとどうなりますか？

Answer 1

おそらく私は何かが足りないのですが、たとえばこのMSEの投稿から引用しています：

セット $T$ 拡張フィールドの要素の $k/F$次の場合、超越の基礎です

1. すべてのために $n$、および明確 $t_{1}, \dots, t_{n} \in T$、ゼロ以外の多項式はありません $f(X_1,\dots,X_n)\in F[X_1,\dots,X_n]$ そのような $f(t_1,\dots,t_n)=0$;
2. $k$ 代数的です $F(T)$。

だからのような要素 $\sqrt{2}$ あなたのいずれにもなりません $\mathbb{Q}(w)$。

Answer 2

編集します。この答えは正しくありません。私は「超越基底」を「ベクトル空間基底」と読みました。@AndreasCarantiの答えは正しいと思います。他の誰も同じ間違いをしないように、私は私を置き去りにします。

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はい、のすべての要素が $\mathbb{R}$ は有限です $\mathbb{Q}$-基本要素の線形結合。これは、対応する拡張機能の和集合にあることを意味します。